С момента открытия Эйнштейном теории относительности человечество поставило перед собой задачу о достижении ракетами скоростей, близких к скорости света в вакууме.

Известные на данный момент технологии не позволяют добиться скоростей, требующий учёта релятивистских эффектов. Так, на данный момент наибольшая теоретически достижимая скорость ракеты, которой позволяют добиться существующие технологии, составляет примерно $0{.}1c$, чему соответствует релятивистский гамма-фактор $\gamma\approx 1{.}005$, поэтому динамика движения даже современных ракет с хорошей точностью описывается механикой Ньютона.

Теоретические же исследования, как известно, опережают технологический прогресс, и к данному моменту построено большое количество теоретических способов запуска релятивистских ракет. В рамках данной задачи вам предлагается ознакомиться с некоторыми особенностями динамики релятивистской ракеты.

Во всех пунктах задачи:

• двигатель ракеты устроен таким образом, что он перерабатывает накопленное в нём топливо в горючее вещество, вылетающее из двигателя в одном и том же направлении относительно ракеты;
• считайте, что энергия системы складывается только из кинетической энергии и энергии покоя, и что при взаимодействиях данные виды энергии переходят только друг в друга без выделения теплоты;
• считайте скорости релятивистскими.

Часть A. Классическая модель релятивистской ракеты (2.8 балла)

Рассмотрим покоящуюся в вакууме релятивистскую ракету массой $M$. Ракета приходит в движение, при котором горючее вылетает из двигателя со скоростью $u$ относительно ракеты. Массу движущейся ракеты обозначим за $m$.

A1  ^0.70 Чему равна скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшается до значения $m$? Ответ выразите через $m$, $M$, $c$ и $u$.

Пусть ракета движется таким образом, что её пассажиры испытывают постоянное ускорение свободного падения $a$. Двигатель ракеты прекращает работу через время $\tau$, измеренное по часам ракеты.

A2  ^0.30 Определите массу $m$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $M$, $a$, $u$, $c$ и $\tau$.

A3  ^0.30 Найдите перемещение $S$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$, $u$, $a$ и $\tau$.

Рассмотрим ракету, для которой $u/c=0{.}1$. Двигатель ракеты прекращает работу через время $\tau_0$, измеренное по часам ракеты. В процессе движения проводилось измерение массы ракеты $m$ от времени $\tau$, прошедшего по часам ракеты от момента старта. Данная зависимость представлена в таблице ниже в виде $y(x)$, где $y=m/M$, а $x=\tau/\tau_0$:

A4  ^1.50 Как можно точнее определите перемещение $S$ ракеты в лабораторной системе отсчёта к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$ и $\tau_0$. Приведите необходимые численные значения в таблице в листах ответов. При необходимости вы можете использовать миллиметровую бумагу в листах ответов для построения графиков.

Часть B. Двухкомпонентная струя (1.4 балла)

Рассмотрим покоящуюся в вакууме релятивистскую ракету массой $M$. Ракета приходит в движение, при котором струя горючего, вылетающего из ракеты, имеет две компоненты $1$ и $2$. Горючие вещества $1$ и $2$ вылетают из двигателя со скоростями $u_1$ и $u_2$ соответственно относительно ракеты, причём масса вылетающего в единицу времени вещества $2$ в $\alpha$ раз больше вылетающего в единицу времени вещества $1$.
Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $u_1$, $u_2$ и $\alpha$.

B1  ^0.70 Пусть масса ракеты уменьшилась до значения $m$. Найдите массы $m_1$ и $m_2$ вылетевших из ракеты горючих веществ $1$ и $2$ соответственно. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

B2  ^0.70 Найдите скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшилась до значения $m$. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

Часть C. Движение ракеты в веществе (1.8 балла)

Рассмотрим неподвижную ракету массой $M$, находящуюся в неподвижном веществе с постоянной плотностью $\rho$. Площадь поперечного сечения ракеты равна $S$. Ракету приводят в движение с помощью двигателя, испускающего горючее с постоянной скоростью $u$ относительно ракеты в одном и том же направлении, перпендикулярном поперечному сечению $S$. Всё вещество, попавшее на переднее основание ракеты, проходит внутрь ракеты и превращается в топливо.
Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $u$, $\rho$ и $S$.

C1  ^0.50 Пусть двигатель ракеты выключен, а ракета движется со скоростью $v$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса? Ответ выразите через $v$ и известные величины.

C2  ^0.50 Пусть двигатель ракеты работает таким образом, что масса движущейся в вакууме ракеты изменяется со скоростью $dm_0/d\tau$ по часам ракеты в момент времени $\tau$.
С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины.

C3  ^0.80 Пусть двигатель ракеты включен, но работает неизвестным образом. Наблюдатель, находящийся на ракете, выяснил, что в некоторый момент времени масса ракеты равнялась $m$, скорость изменения массы ракеты по часам ракеты равнялась $dm/d\tau$, а ракета двигалась со скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчёта. Какое ускорение свободного падения $a$ испытывал в рассматриваемый момент пассажир? Ответ выразите через $v$, $m$, $dm/d\tau$ и известные величины.

Часть D. Ракета, использующая антивещество (1.5 балла)

Рассмотрим неподвижную ракету массой $M$, находящуюся в неподвижном веществе с постоянной плотностью $\rho$. Площадь поперечного сечения ракеты равна $S$.
Топливом двигателя ракеты является антивещество, которое аннигилирует с попавшим в ракету веществом, после чего из двигателя ракеты вылетают фотоны в направлении, перпендикулярном поперечному сечению ракеты. Массы аннигилирующих топлива ракеты и попавшего в неё вещества одинаковы.
Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $\rho$ и $S$.

D1  ^0.50 Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$. Определите ускорение свободного падения $a$, испытываемое пассажирами ракеты. Ответ выразите через $m$, $v$ и известные величины.

D2  ^0.70 Какой скорости $v$ достигнет ракета к моменту, когда её масса уменьшится до значения $m$? Ответ выразите $m$ и известные величины.

D3  ^0.30 Найдите перемещение $L$ ракеты к моменту, когда её скорость достигает значения $v$. Ответ выразите через $v$ и известные величины.

Часть E. Движение в веществе с малой плотностью (2.5 балла)

Рассмотрим изначально неподвижную ракету, движущуюся в вакууме. Пусть $\tau$ — время, прошедшее по часам ракеты с момента старта. Массовый расход вылетающего из ракеты горючего зависит от $\tau$ таким образом, что при движении ракеты в вакууме пассажиры испытывают постоянное ускорение свободного падения $a$. Когда двигатель ракеты прекратил работу, скорость ракеты оказалась равной $v_1$.

Теперь рассмотрим движение ракеты с тем же двигателем (т.е. с той же зависимостью массового расхода вылетающего из ракеты горючего от $\tau$, измеренного по часам ракеты, движущейся в веществе), но в среде с малой плотностью $\rho$. Поскольку плотность $\rho$ является малой, зависимости $v(\tau)$ и $M(\tau)$, где $\tau$ — время, прошедшее по часам ракеты, можно представить в следующей форме:
$$v(\tau)=v_0(\tau)+\delta v(\tau)\qquad m(\tau)=m_0(\tau)+\delta m(\tau){.}
$$
Здесь $v_0(\tau)$ и $m_0(\tau)$ — зависимости скорости и массы ракеты соответственно от времени $\tau$, прошедшего по часам ракеты при движении ракеты в вакууме. Cчитайте, что $\delta v(\tau)\ll v_0(\tau)$ и $\delta{m}(\tau)\ll m_0(\tau)$. Оба двигателя работают в течение одного и того же времени, измеренного часам соответствующих ракет.
Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $\rho$, $S$, $c$, $u$ и $a$.

E1  ^0.50 Получите зависимость $\delta{m}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

E2  ^0.20 На какую величину $\delta{m}_1$ отличаются массы ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.

E3  ^1.50 Получите зависимость $\delta{v}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

E4  ^0.30 На какую величину $\delta{v}_1$ отличаются скорости ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.