| 1 M1 Правильно записан закон сохранения энергии: $$dE_г=-c^2dm{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 M1 Правильно записан закон сохранения импульса: $$dp_р=dp_г=\cfrac{udE_г}{c^2} $$ | 0.20 |
|
| 3 M2 Получена скорость топлива в ЛСО: $$v_г=\cfrac{v-u}{1-\cfrac{uv}{c^2}} $$ | 0.10 |
|
| 4 M2 Правильно записан закон сохранения энергии в ЛСО: $$dE_г=-\cfrac{c^2}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}dm-\cfrac{mv}{\left(1-\cfrac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dv $$ | 0.15 |
|
| 5 M2 Правильно записан закон сохранения импульса в ЛСО: $$dp_р=dp_г=\cfrac{v_гdE_г}{c^2} $$ | 0.15 |
|
| 6 Получено одно из следующих выражений: $$\cfrac{dv}{1-v^2/c^2}=-u\cfrac{dm}{m}\qquad d\theta=-\cfrac{u}{c}\cfrac{dm}{m}{.} $$ | 0.20 |
|
| 7 Получен ответ: $$v=c~\cfrac{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}-1}{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}+1}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено одно из следующих выражений: $$\cfrac{dv}{c(1-v^2/c^2)}=\cfrac{ad\tau}{c}\qquad d\theta=\cfrac{ad\tau}{c}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получен ответ: $$m=Me^{-a\tau/u}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено одно из следующих выражений: $$v=c\tanh\cfrac{a\tau}{c}\qquad \theta=\cfrac{a\tau}{c}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено одно из следующих выражений: $$S=\cfrac{c^2}{a}\left(\cfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)\qquad S=\cfrac{c^2(\cosh\theta-1)}{a}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ: $$S=\cfrac{c^2\left(\cosh\cfrac{a\tau}{c}-1\right)}{a}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено выражение: $$dS=c\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}\right)d\tau{.} $$ | 0.30 |
|
| 2 Величина $S$ выражена через определённый интеграл: $$S=c\tau_0\int\limits_{0}^1\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Описан метод нахождения определённого интеграла (построение графика или метод трапеций). | 0.10 |
|
| 4 Получен ответ (по $0{.}4$ балла за попадания в широкие и узкие ворота). Широкие ворота: $$S=c\tau_0(0{.}146\pm 0{.}004){.} $$ Узкие ворота: $$S=c\tau_0(0{.}146\pm 0{.}002){.} $$ | 2 × 0.40 |
|
| 1 Из закона сохранения энергии получено соотношение: $$\gamma_1m_1+\gamma_2m_2=M-m{.} $$ | 0.50 |
|
| 2 Получены ответы (по 0.1 балла за каждый): $$m_1=\cfrac{M-m}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 3 Ответы для $m_1$ и $m_2$ выражены через $\gamma_1$ и $\gamma_2$: $$m_1=\cfrac{M-m}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}{,} $$ | -0.10 |
|
| 1 Записан закон сохранения импульса: $$\cfrac{dp_р}{d\tau}=\gamma_1u_1\cfrac{dm_1}{d\tau}+\gamma_2u_2\cfrac{dm_2}{d\tau}{.} $$ | 0.30 |
|
| 2 Получено уравнение, эквивалентное следующему: $$d\theta=-\cfrac{dm}{m}\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен ответ: $$v=c\tanh\left(\cfrac{\cfrac{u_1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha u_2}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}{c\left(\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}\right)}\ln\cfrac{M}{m}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Ответ выражен через $\gamma_1$ и $\gamma_2$: $$v=c\tanh\left(\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\ln\cfrac{M}{m}\right) $$ | -0.10 |
|
| 1 Определена масса вещества, попадающего в ракету в единицу времени по часам ракеты: $$\cfrac{dm_в}{d\tau}=\gamma\rho Sv{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Из закона сохранения энергии получено: $$\gamma c^2dm_в=c^2dm{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен ответ: $$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Из закона сохранения энергии получено: $$c^2\cfrac{dm}{d\tau}=\gamma^2\rho Sc^2v-\cfrac{dE_г}{d\tau}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Записано выражение для $dE_г/d\tau$: $$\cfrac{dE_г}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен ответ: $$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dm_0}{d\tau}+\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Правильно записан закон сохранения энергии: $$dE_г=\gamma^2c^2\rho Svd\tau-c^2dm{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Правильно записан закон сохранения импульса: $$ma=\cfrac{u}{c^2}\cfrac{dE_в}{d\tau}-\gamma v\cfrac{dm_в}{d\tau}{.} $$ | 0.40 |
|
| 3 Получен ответ: $$a=\cfrac{\gamma^2\rho Sv(u-v)}{m}-\cfrac{u}{m}\cfrac{dm}{d\tau}{.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Учтено равенство аннигилирующих масс и получено: $$\cfrac{dm}{d\tau}=-\gamma\rho Sv{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Выражение для $dm/d\tau$ подставлено в выражение для $a$: $$a=\cfrac{\gamma\rho Sv}{m}(c(\gamma+1)-\gamma v){.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен ответ: $$a=\cfrac{\rho Sv}{m\sqrt{1-v^2/c^2}}\left(c\left(1+\cfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано соотношение: $$c\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{\rho Sc^2\sinh\theta}{m}\left(1+\cosh\theta-\sinh\theta\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано соотношение: $$\cfrac{dm}{d\tau}=-\rho Sc\sinh\theta{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получено уравнение с разделяющимися переменными: $$\cfrac{d\theta}{1+\cosh\theta-\sinh\theta}=\cfrac{1}{1+e^{-\theta}}=-\cfrac{dm}{m}{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Уравнение с разделяющимися переменными правильно проинтегрировано: $$\ln\cfrac{1+e^\theta}{2}=\ln\cfrac{M}{m}{,} $$ | 0.20 |
|
| 5 Получен ответ: $$v=c~\cfrac{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2-1}{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2+1}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено выражение: $$L=\cfrac{M-m}{\rho S}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получен ответ: $$L=\cfrac{M}{\rho S}\left(1-\cfrac{2}{1+\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Использовано выражение, полученное в пункте $\mathrm{C2}$: $$\cfrac{dm}{d\tau}-\cfrac{dm_0}{d\tau}=\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv=\rho Sc\sinh\theta\cosh\theta{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для $\delta{m}(\theta)$ в виде определённого интеграла: $$\delta m(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2}{a}\int\limits_0^\theta \sinh\theta\cosh\theta d\theta $$ | 0.10 |
|
| 3 Получена зависимость $\delta{m}(\theta)$: $$\delta{m}(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2a}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получен ответ: $$\delta m(\tau)=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\left(a\tau/c\right)}{2a}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получен ответ: $$\delta m_1=\cfrac{\rho Sv^2_1}{2a(1-v^2_1/c^2)}{.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Записано уравнение движения ракеты в вакууме: $$m_0a=-u\cfrac{dm_0}{d\tau}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано уравнение движения ракеты в веществе: $$ma=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{dm}{d\tau}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получено уравнение, описывающее поправки к быстроте и массе: $$a\delta m+m_0c\cfrac{d(\delta \theta)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}{.} $$ | 0.30 |
|
| 4 Получено уравнение, содержащее только поправку к быстроте: $$\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2}+\cfrac{Mae^{-\theta c/u}}{c}\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\gamma^2\rho Sv^2=-\rho Sc^2\sinh^2\theta{.} $$ | 0.40 |
|
| 5 Поправка к быстроте выражена в виде определённого интеграла: $$\delta \theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{2Ma}\int\limits_0^\theta\sinh^2\theta e^{\theta c/u}d\theta{.} $$ | 0.10 |
|
| 6 Получено выражение для $\delta{\theta}(\theta)$: $$\delta\theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{8Ma}\left(\cfrac{e^{\theta(2+c/u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{\theta c/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{\theta(c/u-2)}-1}{c/u-2}\right){.} $$ | 0.30 |
|
| 7 Записано соотношение: $$\delta v=\cfrac{c\delta\theta}{\cosh^2\theta}{.} $$ | 0.10 |
|
| 8 Получен ответ: $$\delta v(\tau)=-\cfrac{3\rho Sc^3}{8Ma\cosh^2(a\tau/c)}\left(\cfrac{e^{(2+c/u)a\tau/c}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{a\tau/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{(c/u-2)a\tau/c}-1}{c/u-2}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получен ответ: $$\delta v_1=-\cfrac{\rho Sc^3(1-v^2_1/c^2)}{8Ma}\left(\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{1+c/(2u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)}-1}{c/u}+\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)-1}-1}{c/u-2}\right){.} $$ | 0.30 |
|