Logo
Logo

Динамика релятивистской ракеты

Разбалловка

A1  0,70 Чему равна скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшается до значения $m$? Ответ выразите через $m$, $M$, $c$ и $u$.

A1. 1 M1 Правильно записан закон сохранения энергии:
$$dE_г=-c^2dm{.}
$$
0,20
A1. 2 M1 Правильно записан закон сохранения импульса:
$$dp_р=dp_г=\cfrac{udE_г}{c^2}
$$
0,20
A1. 3 M2 Получена скорость топлива в ЛСО:
$$v_г=\cfrac{v-u}{1-\cfrac{uv}{c^2}}
$$
0,10
A1. 4 M2 Правильно записан закон сохранения энергии в ЛСО:
$$dE_г=-\cfrac{c^2}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}dm-\cfrac{mv}{\left(1-\cfrac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}dv
$$
0,15
A1. 5 M2 Правильно записан закон сохранения импульса в ЛСО:
$$dp_р=dp_г=\cfrac{v_гdE_г}{c^2}
$$
0,15
A1. 6 Получено одно из следующих выражений:
$$\cfrac{dv}{1-v^2/c^2}=-u\cfrac{dm}{m}\qquad d\theta=-\cfrac{u}{c}\cfrac{dm}{m}{.}
$$
0,20
A1. 7 Получен ответ:
$$v=c~\cfrac{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}-1}{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}+1}{.}
$$
0,10
A2  0,30 Определите массу $m$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $M$, $a$, $u$, $c$ и $\tau$.

A2. 1 Получено одно из следующих выражений:
$$\cfrac{dv}{c(1-v^2/c^2)}=\cfrac{ad\tau}{c}\qquad d\theta=\cfrac{ad\tau}{c}{.}
$$
0,20
A2. 2 Получен ответ:
$$m=Me^{-a\tau/u}{.}
$$
0,10
A3  0,30 Найдите перемещение $S$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$, $u$, $a$ и $\tau$.

A3. 1 Получено одно из следующих выражений:
$$v=c\tanh\cfrac{a\tau}{c}\qquad \theta=\cfrac{a\tau}{c}{.}
$$
0,10
A3. 2 Получено одно из следующих выражений:
$$S=\cfrac{c^2}{a}\left(\cfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)\qquad S=\cfrac{c^2(\cosh\theta-1)}{a}{.}
$$
0,10
A3. 3 Получен ответ:
$$S=\cfrac{c^2\left(\cosh\cfrac{a\tau}{c}-1\right)}{a}{.}
$$
0,10
A4  1,50 Как можно точнее определите перемещение $S$ ракеты в лабораторной системе отсчёта к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$ и $\tau_0$. Приведите необходимые численные значения в таблице в листах ответов. При необходимости вы можете использовать миллиметровую бумагу в листах ответов для построения графиков.

A4. 1 Получено выражение:
$$dS=c\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}\right)d\tau{.}
$$
0,30
A4. 2 Величина $S$ выражена через определённый интеграл:
$$S=c\tau_0\int\limits_{0}^1\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.}
$$
0,30
A4. 3 Описан метод нахождения определённого интеграла (построение графика или метод трапеций). 0,10
A4. 4 Получен ответ (по $0{.}4$ балла за попадания в широкие и узкие ворота).
Широкие ворота:
$$S=c\tau_0(0{.}146\pm 0{.}004){.}
$$
Узкие ворота:
$$S=c\tau_0(0{.}146\pm 0{.}002){.}
$$
2 × 0,40
B1  0,70 Пусть масса ракеты уменьшилась до значения $m$. Найдите массы $m_1$ и $m_2$ вылетевших из ракеты горючих веществ $1$ и $2$ соответственно. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

B1. 1 Из закона сохранения энергии получено соотношение:
$$\gamma_1m_1+\gamma_2m_2=M-m{.}
$$
0,50
B1. 2 Получены ответы (по 0.1 балла за каждый):
$$m_1=\cfrac{M-m}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}
$$
2 × 0,10
B1. 3 Ответы для $m_1$ и $m_2$ выражены через $\gamma_1$ и $\gamma_2$:
$$m_1=\cfrac{M-m}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}{,}
$$
-0,10
B2  0,70 Найдите скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшилась до значения $m$. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

B2. 1 Записан закон сохранения импульса:
$$\cfrac{dp_р}{d\tau}=\gamma_1u_1\cfrac{dm_1}{d\tau}+\gamma_2u_2\cfrac{dm_2}{d\tau}{.}
$$
0,30
B2. 2 Получено уравнение, эквивалентное следующему:
$$d\theta=-\cfrac{dm}{m}\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}{.}
$$
0,20
B2. 3 Получен ответ:
$$v=c\tanh\left(\cfrac{\cfrac{u_1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha u_2}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}{c\left(\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}\right)}\ln\cfrac{M}{m}\right){.}
$$
0,20
B2. 4 Ответ выражен через $\gamma_1$ и $\gamma_2$:
$$v=c\tanh\left(\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\ln\cfrac{M}{m}\right)
$$
-0,10
C1  0,50 Пусть двигатель ракеты выключен, а ракета движется со скоростью $v$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса? Ответ выразите через $v$ и известные величины.

C1. 1 Определена масса вещества, попадающего в ракету в единицу времени по часам ракеты:
$$\cfrac{dm_в}{d\tau}=\gamma\rho Sv{.}
$$
0,20
C1. 2 Из закона сохранения энергии получено:
$$\gamma c^2dm_в=c^2dm{.}
$$
0,20
C1. 3 Получен ответ:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.}
$$
0,10
C2  0,50 Пусть двигатель ракеты работает таким образом, что масса движущейся в вакууме ракеты изменяется со скоростью $dm_0/d\tau$ по часам ракеты в момент времени $\tau$.
С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины.

C2. 1 Из закона сохранения энергии получено:
$$c^2\cfrac{dm}{d\tau}=\gamma^2\rho Sc^2v-\cfrac{dE_г}{d\tau}{.}
$$
0,20
C2. 2 Записано выражение для $dE_г/d\tau$:
$$\cfrac{dE_г}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}
$$
0,20
C2. 3 Получен ответ:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dm_0}{d\tau}+\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.}
$$
0,10
C3  0,80 Пусть двигатель ракеты включен, но работает неизвестным образом. Наблюдатель, находящийся на ракете, выяснил, что в некоторый момент времени масса ракеты равнялась $m$, скорость изменения массы ракеты по часам ракеты равнялась $dm/d\tau$, а ракета двигалась со скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчёта. Какое ускорение свободного падения $a$ испытывал в рассматриваемый момент пассажир? Ответ выразите через $v$, $m$, $dm/d\tau$ и известные величины.

C3. 1 Правильно записан закон сохранения энергии:
$$dE_г=\gamma^2c^2\rho Svd\tau-c^2dm{.}
$$
0,20
C3. 2 Правильно записан закон сохранения импульса:
$$ma=\cfrac{u}{c^2}\cfrac{dE_в}{d\tau}-\gamma v\cfrac{dm_в}{d\tau}{.}
$$
0,40
C3. 3 Получен ответ:
$$a=\cfrac{\gamma^2\rho Sv(u-v)}{m}-\cfrac{u}{m}\cfrac{dm}{d\tau}{.}
$$
0,20
D1  0,50 Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$. Определите ускорение свободного падения $a$, испытываемое пассажирами ракеты. Ответ выразите через $m$, $v$ и известные величины.

D1. 1 Учтено равенство аннигилирующих масс и получено:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\gamma\rho Sv{.}
$$
0,20
D1. 2 Выражение для $dm/d\tau$ подставлено в выражение для $a$:
$$a=\cfrac{\gamma\rho Sv}{m}(c(\gamma+1)-\gamma v){.}
$$
0,20
D1. 3 Получен ответ:
$$a=\cfrac{\rho Sv}{m\sqrt{1-v^2/c^2}}\left(c\left(1+\cfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right){.}
$$
0,10
D2  0,70 Какой скорости $v$ достигнет ракета к моменту, когда её масса уменьшится до значения $m$? Ответ выразите $m$ и известные величины.

D2. 1 Записано соотношение:
$$c\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{\rho Sc^2\sinh\theta}{m}\left(1+\cosh\theta-\sinh\theta\right){.}
$$
0,10
D2. 2 Записано соотношение:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\rho Sc\sinh\theta{.}
$$
0,10
D2. 3 Получено уравнение с разделяющимися переменными:
$$\cfrac{d\theta}{1+\cosh\theta-\sinh\theta}=\cfrac{1}{1+e^{-\theta}}=-\cfrac{dm}{m}{.}
$$
0,20
D2. 4 Уравнение с разделяющимися переменными правильно проинтегрировано:
$$\ln\cfrac{1+e^\theta}{2}=\ln\cfrac{M}{m}{,}
$$
0,20
D2. 5 Получен ответ:
$$v=c~\cfrac{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2-1}{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2+1}{.}
$$
0,10
D3  0,30 Найдите перемещение $L$ ракеты к моменту, когда её скорость достигает значения $v$. Ответ выразите через $v$ и известные величины.

D3. 1 Получено выражение:
$$L=\cfrac{M-m}{\rho S}{.}
$$
0,20
D3. 2 Получен ответ:
$$L=\cfrac{M}{\rho S}\left(1-\cfrac{2}{1+\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}}\right){.}
$$
0,10
E1  0,50 Получите зависимость $\delta{m}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

E1. 1 Использовано выражение, полученное в пункте $\mathrm{C2}$:
$$\cfrac{dm}{d\tau}-\cfrac{dm_0}{d\tau}=\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv=\rho Sc\sinh\theta\cosh\theta{.}
$$
0,20
E1. 2 Получено выражение для $\delta{m}(\theta)$ в виде определённого интеграла:
$$\delta m(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2}{a}\int\limits_0^\theta \sinh\theta\cosh\theta d\theta
$$
0,10
E1. 3 Получена зависимость $\delta{m}(\theta)$:
$$\delta{m}(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2a}{.}
$$
0,10
E1. 4 Получен ответ:
$$\delta m(\tau)=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\left(a\tau/c\right)}{2a}{.}
$$
0,10
E2  0,20 На какую величину $\delta{m}_1$ отличаются массы ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.

E2. 1 Получен ответ:
$$\delta m_1=\cfrac{\rho Sv^2_1}{2a(1-v^2_1/c^2)}{.}
$$
0,20
E3  1,50 Получите зависимость $\delta{v}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

E3. 1 Записано уравнение движения ракеты в вакууме:
$$m_0a=-u\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}
$$
0,10
E3. 2 Записано уравнение движения ракеты в веществе:
$$ma=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{dm}{d\tau}{.}
$$
0,10
E3. 3 Получено уравнение, описывающее поправки к быстроте и массе:
$$a\delta m+m_0c\cfrac{d(\delta \theta)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}{.}
$$
0,30
E3. 4 Получено уравнение, содержащее только поправку к быстроте:
$$\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2}+\cfrac{Mae^{-\theta c/u}}{c}\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\gamma^2\rho Sv^2=-\rho Sc^2\sinh^2\theta{.}
$$
0,40
E3. 5 Поправка к быстроте выражена в виде определённого интеграла:
$$\delta \theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{2Ma}\int\limits_0^\theta\sinh^2\theta e^{\theta c/u}d\theta{.}
$$
0,10
E3. 6 Получено выражение для $\delta{\theta}(\theta)$:
$$\delta\theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{8Ma}\left(\cfrac{e^{\theta(2+c/u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{\theta c/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{\theta(c/u-2)}-1}{c/u-2}\right){.}
$$
0,30
E3. 7 Записано соотношение:
$$\delta v=\cfrac{c\delta\theta}{\cosh^2\theta}{.}
$$
0,10
E3. 8 Получен ответ:
$$\delta v(\tau)=-\cfrac{3\rho Sc^3}{8Ma\cosh^2(a\tau/c)}\left(\cfrac{e^{(2+c/u)a\tau/c}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{a\tau/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{(c/u-2)a\tau/c}-1}{c/u-2}\right){.}
$$
0,10
E4  0,30 На какую величину $\delta{v}_1$ отличаются скорости ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.

E4. 1 Получен ответ:
$$\delta v_1=-\cfrac{\rho Sc^3(1-v^2_1/c^2)}{8Ma}\left(\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{1+c/(2u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)}-1}{c/u}+\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)-1}-1}{c/u-2}\right){.}
$$
0,30