A1  ^0.70 Чему равна скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшается до значения $m$? Ответ выразите через $m$, $M$, $c$ и $u$.

Будем решать данную задачу с использованием быстроты $\theta$, определяемой выражением:
$$\beta=\cfrac{v}{c}=\tanh\theta{.}
$$
С учётом этого Лоренц-фактор $\gamma$, а также энергия $E$ и импульс $p$ частицы массой $m$ могут быть записаны следующим образом:
$$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\cosh\theta\qquad E=\gamma mc^2=mc^2\cosh\theta\qquad p=\gamma\beta mc=mc\sinh\theta{.}
$$
Пусть частица движется вдоль оси $x$ со скоростью $v$, а скорость инерциальной системы отсчёта $S'$ направлена вдоль оси $x$ и равна $V$. Тогда скорость частицы $v_{отн}$ относительно системы отсчёта $S'$ составляет:
$$v_{отн}=\cfrac{v-V}{1-\cfrac{vV}{c^2}}{.}
$$
Пусть $v_{отн}/c=\tanh\theta_{отн}$, а $V/c=\tanh\theta_V$. Тогда имеем:
$$\tanh\theta_{отн}=\cfrac{\tanh\theta-\tanh\theta_V}{1-\tanh\theta\tanh\theta_V}=\tanh(\theta-\theta_V){,}
$$
откуда:
$$\theta_{отн}+\theta_V=\theta{.}
$$
Таким образом, быстрота частицы $\theta$ в лабораторной системе отсчёта является суммой быстрот $\theta_V$ и $\theta_{отн}$, характеризующих движение системы отсчёта $S'$ и движение частицы относительно неё соответственно. Из этого также следует, что изменения быстрот частицы относительно всех инерциальных систем отсчёта, движущихся вдоль оси $x$, должны быть одинаковы. Далее мы будем использовать доказанное утверждение.

Рассмотрим движение ракеты из сопутствующей ей инерциальной системы отсчёта, называющейся собственной. Для изменения скорости ракеты имеем:
$$dv_{отн}=c~d\tanh\theta_{отн}=\cfrac{c}{\cosh^2\theta_{отн}}~d\theta_{отн}{.}
$$
Поскольку $\theta_{отн}=0$, имеем:
$$dv_{отн}=c~d\theta_{отн}=c~d\theta{,}
$$
где $\theta$ — быстрота ракеты в лабораторной системе отсчёта.

Рассмотрим динамику ускорения ракеты в собственной системе отсчёта. Пусть $dE_г$ — энергия вылетающего из ракеты горючего, а $dE_р$ — изменение энергии ракеты. Тогда из закона сохранения энергии:
$$dE_г=-dE_р{.}
$$
При этом для ракеты имеем:
$$E=\gamma_{отн} mc^2=mc^2\cosh\theta_{отн}\Rightarrow dE=c^2(\cosh\theta_{отн} dm+m\sinh_{отн}d\theta_{отн}){.}
$$
Поскольку $\theta_{отн}=0$:
$$dE_{р}=c^2dm\Rightarrow dE_г=-c^2dm{.}
$$
Для импульса топлива имеем:
$$dp_г=\cfrac{udE_г}{c^2}=-udm{.}
$$
Применяя закон сохранения импульса, получим:
$$dp_р=dp_г=-udm{.}
$$
где $dp_{р}$ — изменение импульса ракеты, для которого имеем:
$$dp_р=d(\gamma_{отн} Mv_{отн})=d(mc\sinh\theta_{отн})=c(m\cosh\theta_{отн}d\theta_{отн}+\sinh\theta_{отн}~dM)=mcd\theta{.}
$$
Таким образом:
$$mcd\theta=-udm{.}
$$
Интегрируя, получим:
$$\theta=\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}{.}
$$
Окончательно:

A2  ^0.30 Определите массу $m$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $M$, $a$, $u$, $c$ и $\tau$.

Воспользуемся результатом решения пункта $\mathrm{A1}$:
$$a=\cfrac{dv_{отн}}{d\tau}=c~\cfrac{d\theta}{d\tau}\Rightarrow \theta=\cfrac{a\tau}{c}{.}
$$
Поскольку для $M(\theta)$ имеем:
$$m=Me^{-\theta c/u}{,}
$$
для $M(\tau)$ находим:

A3  ^0.30 Найдите перемещение $S$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$, $u$, $a$ и $\tau$.

За время $d\tau$ в собственной системе отсчёта в лабораторной системе отсчёта успевает пройти время $dt$, равное:
$$dt=\gamma d\tau=\cosh\theta d\tau{.}
$$
Для перемещения ракеты $dS$ за время $dt$ имеем:
$$dS=vdt=c\tanh\theta\cosh\theta d\tau=c\sinh\theta d\tau{.}
$$
Поскольку $d\tau=cd\theta/a$, получим:
$$dS=\cfrac{c^2\sinh\theta d\theta}{a}\Rightarrow S(\theta)=\cfrac{c^2(\cosh\theta-1)}{a}{.}
$$
Подставляя $\theta(\tau)$, находим:

A4  ^1.50 Как можно точнее определите перемещение $S$ ракеты в лабораторной системе отсчёта к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$ и $\tau_0$. Приведите необходимые численные значения в таблице в листах ответов. При необходимости вы можете использовать миллиметровую бумагу в листах ответов для построения графиков.

Для перемещения ракеты $dS$ имеем:
$$dS=c\sinh\theta d\tau{.}
$$
Подставляя $\theta(M)$, получим:
$$dS=c\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}\right)d\tau=c\tau_0\cdot \sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.}
$$
Для перемещения $S$ к моменту прекращения работы двигателей получим:
$$S=c\tau_0\int\limits_{0}^{1}\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.}
$$
Данный интеграл лучше всего вычислить, предварительно построив график зависимости от $x$ подынтегральной функции, однако можно обойтись и методом трапеций. Имеем:
$$\int\limits_{0}^{1}\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx=0{.}146\pm 0{.}004{.}
$$
Таким образом:

B1  ^0.70 Пусть масса ракеты уменьшилась до значения $m$. Найдите массы $m_1$ и $m_2$ вылетевших из ракеты горючих веществ $1$ и $2$ соответственно. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

Воспользуемся законом сохранения энергии в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:
$$dE_1+dE_2=\gamma_1c^2dm_1+\gamma_2c^2dm_2=-dE_р=-c^2dM{,}
$$
где $\gamma_1$ и $\gamma_2$ — релятивистские гамма—факторы, соответствующие скоростям $u_1$ и $u_2$.
Поскольку $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются постоянными величинами:
$$\gamma_1m_1+\gamma_2m_2=M-m{.}
$$
Учитывая, что $m_2/m_1=\alpha$, получим:
$$m_1=\cfrac{M-m}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}{,}
$$
или же:

B2  ^0.70 Найдите скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшилась до значения $m$. Ответ выразите через $m$ и известные величины.

Запишем уравнение движения ракеты:
$$\cfrac{dp_р}{d\tau}=mc\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{dp_г}{d\tau}=\gamma_1u_1\cfrac{dm_1}{d\tau}+\gamma_2u_2\cfrac{dm_2}{d\tau}{.}
$$
Отсюда:
$$d\theta=-\cfrac{dm}{m}\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\Rightarrow \theta=\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\ln\cfrac{M}{m}{.}
$$
Поскольку $v=c\tanh\theta$, получим:

C1  ^0.50 Пусть двигатель ракеты выключен, а ракета движется со скоростью $v$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса? Ответ выразите через $v$ и известные величины.

В лабораторной системе отсчёта в единицу времени в ракету попадает масса вещества, равная:
$$\cfrac{dm_в}{dt}=\rho Sv{.}
$$
Тогда в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:
$$\mu_в=\cfrac{dm_в}{d\tau}=\cfrac{dm_{в}}{dt}\cfrac{dt}{d\tau}=\gamma\rho Sv{.}
$$
Энергия вещества $dE_{в}$, попавшего в ракету, трансформируется в энергию ракеты $dE_р$, поэтому:
$$dE_р=c^2dm=dE_{в}=\gamma c^2dm_в=\gamma^2c^2\rho Svd\tau{.}
$$
Окончательно

C2  ^0.50 Пусть двигатель ракеты работает таким образом, что масса движущейся в вакууме ракеты изменяется со скоростью $dm_0/d\tau$ по часам ракеты в момент времени $\tau$.
С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины.

Воспользуемся законом сохранения энергии в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:
$$\cfrac{dE_р}{d\tau}=c^2\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dE_в}{d\tau}-\cfrac{dE_г}{d\tau}=\gamma^2\rho Sc^2v-\cfrac{dE_г}{d\tau}{.}
$$
Когда ракета расположена неподвижно:
$$\cfrac{dE_г}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}
$$
Таким образом:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dm_0}{d\tau}+\gamma^2\rho Sv{,}
$$
или же:

C3  ^0.80 Пусть двигатель ракеты включен, но работает неизвестным образом. Наблюдатель, находящийся на ракете, выяснил, что в некоторый момент времени масса ракеты равнялась $m$, скорость изменения массы ракеты по часам ракеты равнялась $dm/d\tau$, а ракета двигалась со скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчёта. Какое ускорение свободного падения $a$ испытывал в рассматриваемый момент пассажир? Ответ выразите через $v$, $m$, $dm/d\tau$ и известные величины.

В системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты, закон сохранения энергии выглядит следующим образом:
$$dE_г+dE_р=dE_в\Rightarrow dE_г=\gamma^2c^2\rho Svd\tau-c^2dm{.}
$$
Воспользуемся законом сохранения импульса:
$$\cfrac{dp_р}{d\tau}=ma=\cfrac{dp_г}{d\tau}-\cfrac{dp_в}{d\tau}=\cfrac{u}{c^2}\cfrac{dE_г}{d\tau}-\gamma v\cfrac{dm_в}{d\tau}{.}
$$
Подставляя найденные величины, получим:

D1  ^0.50 Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$. Определите ускорение свободного падения $a$, испытываемое пассажирами ракеты. Ответ выразите через $m$, $v$ и известные величины.

С учётом того, что массы аннигилирующих вещества и топлива ракеты одинаковы, можно записать:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\gamma\rho Sv{.}
$$
Тогда для ускорения ракеты с учётом $u=c$ получим:
$$a=\cfrac{\gamma\rho Sv}{m}(c(\gamma+1)-\gamma v){,}
$$
или же:

D2  ^0.70 Какой скорости $v$ достигнет ракета к моменту, когда её масса уменьшится до значения $m$? Ответ выразите $m$ и известные величины.

Перейдём к быстроте:
$$a=c\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{\rho Sc^2\sinh\theta}{m}\left(1+\cosh\theta-\sinh\theta\right){.}
$$
При этом:
$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\rho Sc\sinh\theta{.}
$$
Таким образом:
$$\cfrac{d\theta}{1+\cosh\theta-\sinh\theta}=\cfrac{1}{1+e^{-\theta}}=-\cfrac{dm}{m}{.}
$$
Проинтегрируем полученное выражение:
$$\int\limits_{0}^{\theta}\cfrac{d\theta}{1+e^{-\theta}}=\int\limits_0^{e^\theta}\cfrac{dx}{1+x}=\ln\cfrac{1+e^\theta}{2}=-\int\limits_{M}^m\cfrac{dm}{m}=\ln\cfrac{M}{m}{,}
$$
откуда:
$$e^\theta=\cfrac{2M}{m}-1{.}
$$
Для скорости $v$ имеем:
$$v=c\tanh\theta=c~\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}{,}
$$
откуда находим:

D3  ^0.30 Найдите перемещение $L$ ракеты к моменту, когда её скорость достигает значения $v$. Ответ выразите через $v$ и известные величины.

Изменение массы ракеты равно массе попавшего в неё вещества:
$$m_в=(M-m)=\rho SL{.}
$$
При этом:
$$m=\cfrac{2M}{1+e^\theta}{.}
$$
Найдём $e^{\theta}(v)$:
$$\cfrac{v}{c}=\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}\Rightarrow e^{\theta}=\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}{.}
$$
Таким образом:

E1  ^0.50 Получите зависимость $\delta{m}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

Различие масс обусловлено попаданием вещества в ракету. Поскольку двигатель настроен на движение ракеты в вакууме:
$$\cfrac{dE_{вещ}}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}
$$
Тогда из закона сохранения энергии имеем:
$$\cfrac{dm}{d\tau}-\cfrac{dm_0}{d\tau}=\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv=\rho Sc\sinh\theta\cosh\theta{.}
$$
Обратим внимание, что поправка к скорости движения ракеты, вызванная попаданием в неё вещества, является малой. Тогда $\tau=c\theta/a$. Таким образом:
$$\delta m(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2}{a}\int\limits_0^\theta \sinh\theta\cosh\theta d\theta=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2a}{.}
$$
Подставляя $\theta$, получим:

E2  ^0.20 На какую величину $\delta{m}_1$ отличаются массы ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.

Поскольку $v/c=\tanh\theta$:
$$\delta m(v)=\cfrac{\rho Sv^2}{2a(1-v^2/c^2)}{.}
$$
Таким образом:

E3  ^1.50 Получите зависимость $\delta{v}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины.

Уравнение движения ракеты в вакууме выглядит следующим образом::
$$m_0a=-u\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}
$$
Движение ракеты в веществе выглядит следующим образом:
$$ma=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{dm}{d\tau}{.}
$$
Перепишем последнее соотношение с учётом малости $\delta v/v_0$ и $\delta m/m_0$:
$$a\delta m+m_0c\cfrac{d(\delta \theta)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}{.}
$$
Подставляя $m_0$, $\delta m$ и $d(\delta m)/d\tau$, получим:
$$\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2}+\cfrac{Mae^{-\theta c/u}}{c}\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\gamma^2\rho Sv^2=-\rho Sc^2\sinh^2\theta{.}
$$
Таким образом:
$$\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\cfrac{3\rho Sc^2e^{\theta c/u}\sinh^2\theta}{2Ma}{.}
$$
Таким образом:
$$\delta \theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{2Ma}\int\limits_0^\theta\sinh^2\theta e^{\theta c/u}d\theta=-\cfrac{3\rho Sc^3}{8Ma}\int\limits_0^\theta\left(e^{\theta(2+c/u)}-2e^{\theta c/u}+e^{\theta(c/u-2)}\right)d\theta=
$$
$$=—\cfrac{3\rho Sc^2}{8Ma}\left(\cfrac{e^{\theta(2+c/u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{\theta c/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{\theta(c/u-2)}-1}{c/u-2}\right){.}
$$
При этом:
$$\delta v=c\delta\tanh\theta=\cfrac{c\delta\theta}{\cosh^2\theta}{.}
$$
Таким образом:

E4  ^0.30 На какую величину $\delta{v}_1$ отличаются скорости ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины.

Выразим $e^\theta$ через скорость $v$:
$$v/c=\tanh\theta=\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}\Rightarrow e^\theta=\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}{.}
$$
Подставляя в выражение для $\delta v(\theta)$, получим: