|
A1. 1
Записано равенство электрической и магнитной плотностей энергии в волне: $$\cfrac{\varepsilon\varepsilon_0E^2}{2}=\cfrac{\mu\mu_0H^2}{2}{.}$$ $${.}$$ |
0.10 |
|
|
A1. 2
Используется, что $$n=\sqrt{\varepsilon\mu}=\sqrt{\varepsilon}{.}$$ |
0.10 |
|
|
A1. 3
Получен ответ: $$H=nE\sqrt{\cfrac{\varepsilon_0}{\mu_0}}{.}$$ |
0.10 |
|
|
A2. 1
Записаны граничные условия для магнитного и электрического поля в отсутствии свободных зарядов и сторонних токов: $$D_{1n}=D_{2n}{,}\\ E_{1\tau}=E_{2\tau}{,}\\ H_{1\tau}=H_{2\tau}{,}\\ B_{1n}=B_{2n}{.}$$ |
4 × 0.10 |
|
|
A3. 1
Из выполнения граничных условий на падающую волну в любой момент времени, сделан вывод: $$\omega_r=\omega_t=\omega{.}$$ |
0.10 |
|
|
A3. 2
Из выполнения граничных условий на падающую волну для любой ее точки, сделан вывод, что $$k_{rx}=k_{tx}=k_x{.}$$ |
0.10 |
|
|
A3. 3
Записано определение волнового числа: $$k=\cfrac{\omega}{v}=\cfrac{\omega n}{c}{.}$$ |
0.10 |
|
|
A3. 4
Решена система уравнений, и получены выражения: $$\theta_r=\theta\qquad n_1\sin{\theta}=n_2\sin{\theta_t}{.}$$ |
0.10 |
|
|
A4. 1
Из граничных условия для $s$-поляризованной волны на границе сред $1$ и $2$ получено: $$1+r_s=t_s \qquad (1-r_s)\cos\theta=t_s\cos\theta_t{.}$$ |
2 × 0.15 |
|
|
A4. 2
Решена система и найдены коэффициенты пропускания и отражения: $$r_s=\cfrac{n_1\cos{\theta-n_2\cos{\theta_t}}}{n_1\cos{\theta}+n_2\cos{\theta_t}}\qquad t_s=\cfrac{2n_1\cos{\theta}}{n_1\cos{\theta}+n_2\cos{\theta_t}}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A5. 1
Из граничных условия для $p$-поляризованной волны на границе сред $1$ и $2$: $$(1-r_p)\cos\theta=t_p\cos\theta_t\qquad n_1(1+r_p)=n_2t_p{.}$$ |
2 × 0.15 |
|
|
A5. 2
Решена система и найдены коэффициенты пропускания и отражения: $$r_p=\cfrac{n_2\cos{\theta-n_1\cos{\theta_t}}}{n_2\cos{\theta}+n_1\cos{\theta_t}}\qquad t_s=\cfrac{2n_1\cos{\theta}}{n_2\cos{\theta}+n_1\cos{\theta_t}}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
| A6. 1 Записано выражение для $$\cos{\theta_t}=\sqrt{1-\left(\cfrac{n_1\sin{\theta}}{n_2}\right)^2}=\pm i\sqrt{\left(\cfrac{n_1\sin{\theta}}{n_2}\right)^2-1}{.}$$ | 0.10 |
|
|
A6. 2
Получено условие затухания напряженности электрического поля по оси $z$, направленной вертикально вниз: $$-ik_{tz}z=-ik_tz\cos\theta_t<0{.}$$ |
0.10 |
|
|
A6. 3
Получен ответ: $$\cos{\theta_t}=- i\sqrt{\left(\cfrac{n_1\sin{\theta}}{n_2}\right)^2-1}$$ |
0.10 |
|
|
A7. 1
В выражение для $r_s$ и $r_p$ при полном отражении. $$r_s=\cfrac{n_1\cos\theta+i\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_1\cos\theta-i\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}\qquad r_p=\cfrac{n_2\cos\theta+\cfrac{in_1\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_2}}{n_2\cos\theta-\cfrac{in_1\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_2}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A7. 2
Получен ответ: $$A_s=1\qquad A_p=1{.} $$ $$\delta_s=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{\cos\theta}\right)\qquad \delta_p=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{(n_1/n_2)^2\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{\cos\theta}\right){.} $$ |
4 × 0.05 |
|
|
A8. 1
Используется формула, позволяющая выразить $\delta$ через одну обратную тригонометрическую функцию, например, тангенса разности для углов $\delta_p/2$ и $\delta_s/2$: $$\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\cfrac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A8. 2
Получен ответ: $$\delta=2\operatorname{arctg}\left(\cfrac{\cos\theta\sqrt{\sin^2\theta-n^2_{21}}}{\sin^2\theta}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
B1. 1
Записана формула снеллиуса в случае падения света на границе стекло-воздух на границе $BC$ и $CD$: $$n_1\sin{\alpha}=1{.}$$ |
0.05 |
|
|
B1. 2
Получен ответ: $$\alpha\in[41{.}47^{\circ}{;}~90^{\circ}].$$ |
0.05 |
|
|
B2. 1
В выражение для сдвига фаз между $p$-поляризацией и $s$-поляризацией подставлено значение сдвига фаз: $$\sqrt{2}-1=\cfrac{\cos\alpha\sqrt{\sin^2\alpha-(1/n)^2}}{\sin^2\alpha}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B2. 2
Решено уравнение на угол между гранями ($0{.}1$ балла за формулу и по $0{.}05$ за численные значения): $$\alpha=\arcsin\sqrt{\cfrac{1+(1/n)^2\pm\sqrt{(1+(1/n)^2)^2-4(1/n)^2(4-2\sqrt{2})}}{8-4\sqrt{2}}}\approx 48{.}62^{\circ}{,}~54{.}62^{\circ}{.} $$ |
4 × 0.05 |
|
|
B3. 1
Получено выражение для $BC/AB$: $$\cfrac{BC}{AB}=\cfrac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B3. 2
Получен ответ (по $0{.}05$ балла за численное значение для каждого из углов): $$\cfrac{BC}{AB}=\begin{cases} 1{.}70\quad при\quad \alpha'=48{.}62^{\circ}\\ 2{.}30\quad при\quad \alpha'=54{.}62^{\circ} \end{cases} $$ |
2 × 0.05 |
|
|
B4. 1
Записана формула снеллиуса в случае падения света на границе стекло-воздух на границе $BC$ и $CD$: $$n_1\sin{\alpha}=1{.}$$ |
0.05 |
|
|
B4. 2
Получен ответ: $$\alpha\in[41{.}47^{\circ}{;}~90^{\circ}].$$ |
0.05 |
|
| B5. 1 Обоснованно, что ответ идентичен $B2$ | 0.20 |
|
|
B5. 2
Решено уравнение на угол между гранями ($0{.}1$ балла за формулу и по $0{.}05$ за численные значения): $$\alpha=\arcsin\sqrt{\cfrac{1+(1/n)^2\pm\sqrt{(1+(1/n)^2)^2-4(1/n)^2(4-2\sqrt{2})}}{8-4\sqrt{2}}}\approx 48{.}62^{\circ}{,}~54{.}62^{\circ}{.} $$ |
2 × 0.05 |
|
| B6. 1 Указано, что лучи испытывают полное внутреннее отражение, если попадают на грань $BC$. | 0.10 |
|
|
B6. 2
Определено условие максимальности $\gamma$ при фиксированном значении $\alpha$: $$\gamma_{max}=\cos\alpha{.} $$ |
0.10 |
|
|
B6. 3
Получен ответ (по $0{.}05$ балла за численное значение для каждого из углов): $$\gamma_{max}=\begin{cases} 0{.}661\quad при\quad \alpha'=48{.}62^{\circ}\\ 0{.}579\quad при\quad \alpha'=54{.}62 \end{cases} $$ |
0.10 |
|
| C1. 1 Для произвольной падающей волны записаны выражения для коэффициента отражения в случае $s$,$p$-поляризаций и проверена справедливость формулы $r_1'=-r_{1}{.}$ | 0.10 |
|
| C1. 2 Аналогично, записаны выражения для коэффициента пропускания в случае $s$, $p$-поляризаций. Подстановкой проверена выполнимость $1-r_1^2=t_1t_1'.$ | 0.20 |
|
|
C2. 1
Записаны компоненты напряженностей $E_r^{(1)}$ и $E^{(1)}$ в терминах $E_1$ (по $0{.}1$ балла за каждое): $$E^{(1)}_r=r_1E_1\qquad E^{(1)}=t_1E_1{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
C2. 2
Записаны компоненты напряженностей $E_r^{(2)}$ и $E_t^{(2)}$ в терминах $E'$ (по $0{.}1$ балла за каждое): $$E^{(2)}_r=r'_1E'\qquad E^{(2)}=t'_1E'{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
C2. 3
Получены ответы (по $0{.}1$ балла за каждый): $$E_r=r_1E_1+t'_1E'\qquad E=t_1E_1+r'_1E'{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
C3. 1
Волна с волновым вектором $\vec{k'}$ рассматривается, как отраженная волна с волновым вектором $\vec{k}$, с учетом сдвига по фазе: $$r_2Ee^{-ikd\cos\psi}=E'e^{ikd\cos\psi}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C3. 2
Аналогично, волна с волновым вектором $\vec{k}_t$ рассматривается как прошедшая волна с волновым вектором $\vec{k}$, с учетом сдвига по фазе $$t_2Ee^{-ikd\cos\psi}=E_te^{-ik_td\cos\varphi}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C3. 3
Из формулы Снеллиуса получены выражения: $$\cos\psi=\cfrac{\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}\qquad \cos\varphi=\cfrac{\sqrt{n^2_2-n^2_1\sin^2\theta}}{n_2}{.} $$ |
0.10 |
|
|
C3. 4
Получены ответы (по $0{.}1$ балла за каждый): $$E'=r_2E\exp\left(-\cfrac{2ikd\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}\right) $$ $$E_t=t_2E\exp\left(\cfrac{ikd\left(\sqrt{n^2_2-n^2_1\sin^2\theta}-\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}\right)}{n}\right){.} $$ |
2 × 0.05 |
|
|
C4. 1
Получено выражение для $r$ через $\Delta$: $$r=\cfrac{r_1+r_2e^{-i\Delta}}{1+r_1r_2e^{-i\Delta}} $$ |
0.40 |
|
|
C4. 2
Правильное выражение для $\Delta$: $$\Delta=\cfrac{2kd\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}{.} $$ |
0.10 |
|
|
C4. 3
Получен ответ: $$r=\cfrac{r_1+r_2\exp\left(-\cfrac{2ikd\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}\right)}{1+r_1r_2\exp\left(-\cfrac{2ikd\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}\right)}{.} $$ |
0.10 |
|
| C5. 1 Указано, что для обращения $r$ в ноль, нужно, чтобы $e^{-i\Delta}$ было действительным числом. | 0.20 |
|
|
C5. 2
Записано условие того, что $e^{-i\Delta}$ действительно: $$2kd=\pi N\Rightarrow d=\cfrac{\lambda N}{4}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C5. 3
Связаны длины волн в средах с показателями преломления $n$ и $n_1$: $$\lambda_1n_1=\lambda n{.}$$ |
0.10 |
|
|
C5. 4
Получен ответ: $$d=\cfrac{\lambda_1n_1N}{4n}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C6. 1
Для нечетных $N$ получено условие обнуления $r$: $$n=\sqrt{n_1n_2}$$ |
0.60 |
|
|
C6. 2
Для четных $N$ получено условие обнуления $r$: $$n=0{.}$$ Указано, что оно не выполняется. |
0.20 |
|
|
D1. 1
Получен ответ: $$n'=\sqrt{n}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D2. 1
Записано (получено) выражение: $$f=\cfrac{R}{2(n-1)}{.} $$ |
0.50 |
|
|
D3. 1
Получено выражение для импульса, переданного линзе: $$\Delta p_x=p_{x0}(1-\cos{\varphi}){.}$$ |
0.20 |
|
| D3. 2 Указан угол, на который поворачивается волновой фронт линзы: $\varphi\approx \rho/f$. | 0.20 |
|
|
D3. 3
Записана сила, действующая кольцо с внутренним и внешним радиусами $\rho$ и $\rho+d\rho$: $$dF_x=n_0c\cdot 2\pi \rho d\rho\cdot \Delta{p}_x(\rho){.} $$ |
0.20 |
|
| D3. 4 Использучется, что $I_0=n_0cE$. | 0.10 |
|
|
D3. 5
Получен ответ через фокусное расстояние линзы: $$F=\cfrac{\pi I_0r^4}{4f^2c}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D3. 6
Получен ответ: $$F=\cfrac{\pi r^4I_0(n-1)^2}{R^2c}{.} $$ |
0.10 |
|