A1  ^0.30 Пусть в веществе с показателем преломления $n$ распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой колебаний $E$ напряжённости электрического поля. Выразите амплитуду колебаний напряжённости $H$ магнитного поля в этой волне через $E$, $n$, а также магнитную и электрическую постоянные $\mu_0$ и $\varepsilon_0$ соответственно.

В плоской электромагнитной волне объёмные плотности энергий электрического и магнитного поля одинаковы, поэтому:
$$w_M=\cfrac{\mu_0\mu H^2}{2}=w_E=\cfrac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}{2}{.}
$$
Для фазовой скорости распространения волны имеем:
$$v=\cfrac{c}{n}=\cfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\mu\varepsilon}}\Rightarrow n=\sqrt{\mu\varepsilon}{.}
$$
Поскольку $\mu=1$, для $H$ имеем:

A2  ^0.40 Какие 4 граничных условия на электрическое и магнитное поля выполняются на границе раздела сред? Запишите их в листы ответов в удобной вам форме.

Из теоремы Гаусса для индукции магнитного поля следует:

Поскольку на границе отсутствуют свободные заряды, из теоремы Гаусса для вектора электрической индукции следует:

Из теоремы о циркуляции для напряжённости электрического поля следует:

Поскольку на границе раздела отсутствуют сторонние токи, из теоремы о циркуляции для напряжённости магнитного поля следует:

A3  ^0.40 Все граничные условия, выполняющиеся на границе раздела двух сред, должны быть выполнены в каждой её точке в произвольный момент времени. Исходя из этого докажите следующие равенства:
$$\omega_r=\omega_t=\omega\qquad \theta_r=\theta\qquad n_2\sin\theta_t=n_1\sin\theta{.}
$$

Каждое из полей в среде $1$ является суммой полей в падающей и отражённой волне, а поле в среде $2$ является полем прошедшей волны. Тогда каждое из граничных условий имеет вид:
$$Ae^{i(\omega t-\vec{k}\vec{r})}+Be^{i(\omega_rt-\vec{k}_r\vec{r})}=Ce^{i(\omega_tt-\vec{k}_t\vec{r})}{.}
$$
Данные условия должны быть выполнены в любой момент времени, откуда следуют соотношения:
$$\omega_r=\omega_t=\omega{.}
$$
Также данные условия должны быть выполнены в любой точке границы раздела сред. Пусть $x$ — ось, направленна на рис.1. и рис.2. вправо. Тогда для выполнения граничных условий в любой точке границы раздела двух сред должны выполняться соотношения:
$$k_{rx}=k_{tx}=k_x{.}
$$
Волновое число определяется соотношением:
$$k=\cfrac{\omega}{v}=\cfrac{\omega n}{c}{.}
$$
Отсюда получим:
$$k_x=\cfrac{\omega n_1\sin\theta}{c}=k_{rx}=\cfrac{\omega n_1\sin\theta_r}{c}=k_{tx}=\cfrac{\omega n_2\sin\theta_t}{c}{.}
$$
Отсюда следуют соотношения:
$$\theta=\theta_r\qquad n_1\sin\theta=n_2\sin\theta_t{.}
$$

A4  ^0.50 Получите выражение для комплексных коэффициентов отражения и прохождения $r_s$ и $t_s$ соответственно в случае $s$-поляризованной волны. Ответы выразите через $n_1$, $n_2$, $\theta$ и $\theta_t$. Выражения для $r_s$ и $t_s$ называются формулами Френеля для $s$-поляризованной волны.

Запишем граничное условие для тангенциальной компоненты напряженности электрического поля:
$$E_{\tau 1}=E_0(1+r_s)=E_{\tau 2}=E_0t_s\Rightarrow 1+r_s=t_s{.}
$$
Запишем граничное условие для тангенциальной компоненты напряжённости магнитного поля:
$$H_{\tau 1}=n_1\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}(1-r_s)\cos\theta=H_{\tau 2}=n_2\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}t_s\cos\theta_t\Rightarrow n_1(1-r_s)\cos\theta=n_2t_s\cos\theta_t{.}
$$
Отсюда находим:

A5  ^0.50 Получите выражение для коэффициентов $r_p$ и $t_p$ в случае $p$-поляризованной волны. Ответы выразите через $n_1$, $n_2$, $\theta$ и $\theta_t$. Выражения для $r_p$ и $t_p$ называются формулами Френеля для $p$-поляризованной волны.

Запишем граничное условие для тангенциальной компоненты напряженности электрического поля:
$$E_{\tau 1}=E_0(1-r_p)\cos\theta=E_{\tau 2}=E_0t_p\cos\theta_t\Rightarrow (1-r_p)\cos\theta=t_p\cos\theta_t{.}
$$
Запишем граничное условие для тангенциальной компоненты напряжённости магнитного поля:
$$H_{\tau 1}=n_1\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}(1+r_p)=H_{\tau 2}=n_2\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}t_p\Rightarrow n_1(1+r_p)=n_2t_p{.}
$$
Отсюда находим:

$$r_p=\cfrac{n_2\cos\theta-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta+n_1\cos\theta_t}\qquad t_p=\cfrac{2n_1\cos\theta}{n_2\cos\theta+n_1\cos\theta_p}{.}
$$

A6  ^0.30 Определите величину $\cos\theta_t$. Ответ выразите через $n_1$, $n_2$ и $\theta$.

Введём ось $z$, направленную вертикально вниз. Тогда в произвольной точке пространства:
$$E_t\sim \exp\left(i\left(\omega t-\vec{k}_t\vec{r}\right)\right)=\exp\left(i\left(\omega t-k_{tx}x-k_{tz}z\right)\right){.}
$$
Рассмотрим слагаемое $-ik_{tz}$:
$$-ik_{tz}z=-ik_tz\cos\theta_t{.}
$$
При этом для $\cos\theta_t$ имеем:
$$\cos\theta_t=\pm\sqrt{1-\cfrac{n^2_1\sin^2\theta}{n^2_2}}=\pm \cfrac{i\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_2}{.}
$$
Затуханию амплитуды волны соответствует знак $-$, поэтому:

A7  ^0.40 Выражения для $r_s$ и $r_p$ можно представить в следующем виде:
$$r_s=A_se^{i\delta_p}\qquad r_p=A_pe^{i\delta_p}{.}
$$
Определите $A_s$, $A_p$, $\delta_s$ и $\delta_p$. Ответы выразите через $n_1$, $n_2$ и $\theta$.

С учётом выражения для $\cos\theta_t$ при полном отражении, выражения для $r_s$ и $r_p$ принимают вид:
$$r_s=\cfrac{n_1\cos\theta+i\sqrt{n_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n^2_1\cos\theta-i\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}\qquad r_p=\cfrac{n_2\cos\theta+\cfrac{in_1\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_2}}{n_2\cos\theta-\cfrac{in_1\sqrt{n^2_1\sin^2\theta-n^2_2}}{n_2}}{.}
$$
Модули $r_s$ и $r_p$ равны единице в силу равенств модулей вещественных и мнимых частей числителей и знаменателей. Тогда их запись в показательной форме выглядит следующим образом:
$$r_s=\exp\left(2i\operatorname{arctg}\left(\cfrac{\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{\cos\theta}\right)\right){.}
$$
$$r_p=\exp\left(2i\operatorname{arctg}\left(\cfrac{(n_1/n_2)^2\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{\cos\theta}\right)\right){.}
$$
Таким образом:

A8  ^0.40 Определите $\delta$. Ответ выразите в виде одной обратной тригонометрической функции через $\theta$ и $n_{21}=n_2/n_1$.

Воспользуемся выражением для тангенса разности:
$$\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\cfrac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{.}
$$
Отсюда:
$$\operatorname{tg}(\delta/2)=\cfrac{\operatorname{tg}(\delta_p/2)-\operatorname{tg}(\delta_s/2)}{1+\operatorname{tg}(\delta_p/2)\operatorname{tg}(\delta_s/2)}=\cfrac{\sqrt{\sin^2\theta-n^2_{21}}(n^{-2}_{21}-1)}{\cos\theta\left(1+\cfrac{(\sin^2\theta-n^2_{21})n^{-2}_{21}}{\cos^2\theta}\right)}{.}
$$
Преобразуем полученное выражение:
$$\operatorname{tg}(\delta/2)=\cfrac{\cos\theta\sqrt{\sin^2\theta-n^2_{21}}(n^{-2}_{21}-1)}{\sin^2\theta(n^{-2}_{21}-1)}=\cfrac{\cos\theta\sqrt{\sin^2\theta-n^2_{21}}}{\sin^2\theta}{.}
$$
Таким образом:

B1  ^0.10 При каких значениях острого угла $\alpha$ ромба Френеля электромагнитная волна будет испытывать полное отражение от граней ромба Френеля $BC$ и $AD$? Выразите ответ через $n$ и рассчитайте его в градусах с точностью до четырёх значащих цифр.

Угол падения на грани $BC$ и $AD$ будет равен $\alpha$, поэтому должно выполняться условие:
$$n\sin\alpha\leq 1{.}
$$
Таким образом:

B2  ^0.40 При каких значениях угла $\alpha=\alpha'$ с помощью ромба Френеля можно получить круговую поляризацию из линейной? Выразите ответы через $n$ и рассчитайте их в градусах с точностью до четырёх значащих цифр.

При каждом полном отражении между $p$-поляризацией и $s$-поляризацией возникает сдвиг фаз, равный $\pi/4$, поэтому:
$$\operatorname{tg}(\delta/2)=\operatorname{tg}(\pi/8)=\sqrt{\cfrac{1-\cos\delta}{1+\cos\delta}}=\sqrt{\cfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}-1{.}
$$
Таким образом:
$$\sqrt{2}-1=\cfrac{\cos\alpha'\sqrt{\sin^2\alpha'-(1/n)^2}}{\sin^2\alpha'}{.}
$$
Отсюда:
$$\sin^4\alpha'(4-2\sqrt{2})-\sin^2\alpha'(1+(1/n)^2)+(1/n)^2=0
$$
Решая квадратное уравнение, получим:
$$\alpha'=\arcsin\sqrt{\cfrac{1+(1/n)^2\pm\sqrt{(1+(1/n)^2)^2-4(1/n)^2(4-2\sqrt{2})}}{8-4\sqrt{2}}}\approx 48{.}62^{\circ}{,}~54{.}62^{\circ}{.}
$$
Отметим, что оба угла удовлетворяют условию, полученному в пункте $\mathrm{B1}$ и являются подходящими.

B3  ^0.30 Пусть пучок света падает на ромб Френеля по всей площади грани $AB$. Угол $\alpha=\alpha'$. При каких значениях $BC/AB$ ромб Френеля обращает весь пучок лучей (все лучи, попавшие в ромб Френеля через грань $AB$, испытывают два полных отражения)? Рассчитайте ответ с точностью до трёх значащих цифр.

Воспользуемся методом развёртки.
Ромб Френеля обращает весь пучок лучей при условии:
$$BC\cos\alpha+AB\cos 2\alpha-AB=0\Rightarrow \cfrac{BC}{AB}=\cfrac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}{.}
$$
Таким образом:

B4  ^0.10 При каких значениях угла $\alpha$ ромба Муни электромагнитная волна будет испытывать полное отражение от граней ромба Френеля $BC$ и $CD$? Выразите ответ через $n$ и рассчитайте его в градусах с точностью до четырёх значащих цифр.

Угол падения на грани $BC$ и $CD$ будет равен $\alpha$, поэтому должно выполняться условие:
$$n\sin\alpha\leq 1{.}
$$
Таким образом:

B5  ^0.30 При каких значениях угла $\alpha=\alpha'$ с помощью ромба Муни можно получить круговую поляризацию из линейной? Выразите ответы через $n$ и рассчитайте их в градусах с точностью до четырёх значащих цифр.

Поскольку количество отражений равняется двум, ответ для данного пункта совпадает с ответом на пункт $\mathrm{B2}$:

B6  ^0.30 Пусть угол $\alpha=\alpha'$. Определите максимально возможное значение $\gamma$ отношения площади поперечного сечения пучка, падающего на грань $AB$, к площади грани $AB$, если ромб Муни обращает весь пучок лучей (все лучи, попавшие в ромб Муни через грань $AB$, испытывают два полных отражения). Рассчитайте ответ с точностью до трёх значащих цифр.

Лучи испытывают по два полных отражения при условии их первого попадания на грань $BC$. Пусть $E$ — точка грани $AB$, после прохождения которой луч попадает в точку $C$. Тогда положение точки $E$ определяется соотношением:
$$BE/BC=BE/AB=\cos\alpha{.}
$$
При фиксированном значении $\alpha$ максимальное отношение площади поперечного сечения пучка к площади грани $AB$ равно отношению $BE/AB=\cos\alpha$.
Имеем:

C1  ^0.30 Покажите справедливость следующих соотношений:
$$r'_1=-r_1\qquad 1-r^2_1=t_1t'_1{.}
$$

Пусть $\psi$ — угол преломления падающей волны. Тогда $\psi$ равен углу падения волны с волновым вектором $\vec{k'}$ на границу раздела сред с показателями преломления $n_1$ и $n$, а угол преломления равен $\theta$.
В случае $s$-поляризации имеем:
$$r_{1s}=\cfrac{n_1\cos\theta-n\cos\psi}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}\qquad r'_{1s}=\cfrac{n\cos\psi-n_1\cos\theta}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}{.}
$$
В случае $p$-поляризации имеем:
$$r_{1p}=\cfrac{n\cos\theta-n_1\cos\psi}{n\cos\theta+n_1\cos\psi}\qquad r'_{1p}=\cfrac{n_1\cos\psi-n\cos\theta}{n\cos\theta+n_1\cos\psi}{.}
$$
Таким образом, в обоих случаях равенство $r'_1=-r_1$ является выполненным.
Определим $t'_1$ в случае обеих поляризаций:
$$t'_{1s}=\cfrac{2n\cos\psi}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}\qquad t'_{1p}=\cfrac{2n\cos\psi}{n_1\cos\psi+n\cos\theta}{.}
$$
При этом для $t_{1s}$ и $t_{1s}$ имеем:
$$t_{1s}=\cfrac{2n_1\cos\theta}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}\qquad t_{1p}=\cfrac{2n_1\cos\theta}{n\cos\theta+n_1\cos\psi}{.}
$$
Отсюда:
$$1-r^2_{1s}=\cfrac{4nn_1\cos\theta\cos\psi}{(n_1\cos\theta+n\cos\psi)^2}=\cfrac{2n_1\cos\theta}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}\cdot\cfrac{2n\cos\psi}{n_1\cos\theta+n\cos\psi}=t_{1s}t'_{1s}{.}
$$
$$1-r^2_{1p}=\cfrac{4nn_1\cos\theta\cos\psi}{(n\cos\theta+n_1\cos\psi)^2}=\cfrac{2n_1\cos\theta}{n\cos\theta+n_1\cos\psi}\cdot\cfrac{2n\cos\psi}{n\cos\theta+n_1\cos\psi}=t_{1p}t'_{1p}{.}
$$
Таким образом, равенство $1-r^2_1=t_1t'_1$ является выполненным.

C2  ^0.60 Выразите $E_r$ и $E$ через $E_1$, $E'$, $r_1$, $r'_1$, $t_1$ и $t'_1$.

Если бы волна с напряжённостью электрического поля $E'$ отсутствовала, то комплексные амплитуды $E^{(1)}_r$ и $E^{(1)}$ были бы следующими:
$$E^{(1)}_r=r_1E_1\qquad E^{(1)}=t_1E_1{.}
$$
Если бы волна с напряжённостью электрического поля $E_1$ отсутствовала, то комплексные амплитуды $E^{(2)}_r$ и $E^{(2)}$ были бы следующими:
$$E^{(2)}_r=r'_1E'\qquad E^{(2)}=t'_1E'{.}
$$
Результирующие комплексные амплитуды напряжённостей электрических полей находятся из принципа суперпозиции:

C3  ^0.60 Рассуждая аналогично пункту C2, выразите $E'$ и $E_t$ через $E$, $r_2$ и $t'_2$, $n_1$, $n_2$, $n$, $k$, $d$ и $\theta$. Учтите, что комплексные амплитуды электрических полей в точке $O'$ сдвинуты по фазе относительно соответствующих комплексных амплитуд в точке $O$.

Поскольку точка $O'$ смещена относительно точки $O$, комплексные амплитуды $E_{O'}$, $E'_{O'}$ и $E_{O't}$ напряжённостей электрического поля в волнах c волновыми векторами $\vec{k'}$, $\vec{k}$ и $\vec{k}_t$ сдвинуты по фазе относительно $E$, $E'$ и $E_t$.
Рассматривая волну с волновым вектором $\vec{k}'$ как отражённую волну с волновым вектором $\vec{k}$, получим:
$$r_2Ee^{-ikd\cos\psi}=E'e^{ikd\cos\psi}{.}
$$
Аналогично рассматривая волну с волновым вектором $\vec{k}_t$ как прошедшую волну с волновым вектором $\vec{k}$, получим:
$$t_2Ee^{-ikd\cos\psi}=E_te^{-ik_td\cos\varphi}{,}
$$
где $\varphi$ — угол преломления волны с волновым вектором $\vec{k}$.
Запишем выражения для $\cos\varphi$ и $\cos\psi$:
$$\cos\psi=\cfrac{\sqrt{n^2-n^2_1\sin^2\theta}}{n}\qquad \cos\varphi=\cfrac{\sqrt{n^2_2-n^2_1\sin^2\theta}}{n_2}{.}
$$
Учтём также соотношение:
$$k_t=\cfrac{kn_2}{n}{.}
$$
Окончательно:

C4  ^0.60 Используя результаты пунктов C1-C3, определите коэффициент отражения $r=E_r/E_1$. Ответ выразите через $r_1$, $r_2$, $n_1$, $n$, $k$, $d$ и $\theta$.

Временно будем записывать выражение для $E'$ через $E$ в следующем виде:
$$E'=r_2Ee^{-i\Delta}{.}
$$
Выразим $E$ через $E_1$:
$$E=t_1E_1+r'_1E'=t_1E_1+Er'_1r_2e^{-i\Delta}\Rightarrow E=\cfrac{t_1E_1}{1-r'_1r_2e^{-i\Delta}}=\cfrac{t_1E_1}{1+r_1r_2e^{-i\Delta}}{.}
$$
Воспользуемся выражением для $E_r$:
$$E_r=r_1E_1+t'_1E'=r_1E_1+\cfrac{E_1t_1t'_1r_2e^{-i\Delta}}{1+r_1r_2e^{-i\Delta}}=E_1\left(r_1+\cfrac{r_2(1-r^2_1)e^{-i\Delta}}{1+r_1r_2e^{-i\Delta}}\right){.}
$$
Таким образом:
$$r=\cfrac{r_1+r_2e^{-i\Delta}}{1+r_1r_2e^{-i\Delta}}
$$
Подставляя $\Delta$, находим:

C5  ^0.70 При каком значении толщины пластины $d$ возможно обращение коэффициента отражения в ноль? Ответ выразите через $\lambda_1$, $n_1$ и $n$.

При нормальном падении $s$-поляризация и $p$-поляризация эквивалентны друг другу, поэтому мы будем рассматривать только $s$-поляризованную волну.
Коэффициенты отражения $r_1$ и $r_2$ являются действительными, поэтому для обращения коэффициента отражения в ноль величина $e^{-i\Delta}$ должна быть действительной. Это возможно при:
$$2kd=\pi N\Rightarrow d=\cfrac{\lambda N}{4}{.}
$$
Свяжем величины $\lambda$ и $\lambda_1$:
$$\lambda=vT=\cfrac{2\pi c}{\omega n}\Rightarrow \lambda_1n_1=\lambda n{.}
$$

C6  ^0.80 При каких значениях показателя преломления пластины $n$ возможно обращение коэффициента отражения в ноль? Ответ выразите через $n_1$ и $n_2$.

Проанализируем случай нечётных $N$:
$$r_1-r_2=0\Rightarrow r_1=\cfrac{n_1-n}{n_1+n}=r_2=\cfrac{n-n_2}{n+n_2}{,}
$$
откуда:
$$n_1n+n_1n_2-n^2-n_2n=n_1n-n_1n_2+n^2-nn_2\Rightarrow n=\sqrt{n_1n_2}
$$
Проанализируем случай чётных $N$:
$$r_1+r_2=0\Rightarrow n_1n+n_1n_2-n^2-n_2n=-n_1n+n_1n_2-n^2+nn_2\Rightarrow n=0{.}
$$
Таким образом, возможен только случай нечётных $N$, и в действительности величина $d$ может принимать только следующие значения:
$$d=\cfrac{\lambda(1+2m)}{4}\sqrt{\cfrac{n_1}{n_2}}{.}
$$
Окончательно:

D1  ^0.20 Чему равен показатель преломления $n'$ просветляющего покрытия? Ответ выразите через $n$.

Воспользуемся результатом пункта $\mathrm{C6}$:

D2  ^0.50 Чему равно фокусное расстояние линзы $f$? Ответ выразите через $R$ и $n$

Получим выражение для фокусного расстояния двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны поверхности с радиусами кривизны $R_1$ и $R_2$, выполненной из вещества с показателем преломления $n$.
Воспользуемся принципом таутохронности в параксиальном приближении:
$$l_{опт}=nh+f=\cfrac{r^2}{2R_1}+n\left(h-\cfrac{r^2}{2R_1}-\cfrac{r^2}{2R_2}\right)+\cfrac{r^2}{2R_2}+f+\cfrac{r^2}{2f}{.}
$$
Из независимости от $r$ получим:
$$\cfrac{1}{f}=(n-1)\left(\cfrac{1}{R_1}+\cfrac{1}{R_2}\right){.}
$$
Поскольку $R_1=R_2=R$:

D3  ^1.00 Определите силу $F$, действующую на линзу. Ответ выразите через $I_0$, $r$, $R$, $n$ и $c$.

Возникновение силы, действующей на линзу, обусловлено поворотом волнового фронта после прохождения линзы.
Пусть $p_{x0}$ и $p_x$ — проекции импульса фотона на ось $x$ до и после прохождения линзы. Тогда импульс $\Delta{p}_x$, переданный фотоном линзе, составляет:
$$\Delta{p}_x=p_{x0}-p_x{.}
$$
Пусть волна падает на линзу на расстоянии $\rho$ от её оси. После прохождения линзы волновой фронт поворачивается на угол $\varphi\approx \rho/f$, поэтому имеем:
$$\Delta{p}_x(\rho)=p_{x0}(1-\cos\varphi)\approx\cfrac{p_{x0}\rho^2}{2f^2}{.}
$$
Пусть $n$ — концентрация фотонов в падающем на линзу пучке, а $E$ — энергия одного фотона. Тогда сила, действующая кольцо с внутренним и внешним радиусами $\rho$ и $\rho+d\rho$ составляет:
$$dF_x=n_0c\cdot 2\pi \rho d\rho\cdot \Delta{p}_x(\rho)=\cfrac{\pi n_0p_{x0}c}{f^2}\cdot \rho^3d\rho=\cfrac{\pi n_0E}{f^2}\cdot \rho^3d\rho{.}
$$
При этом $I_0=n_0cE$, поэтому:
$$F_x=\cfrac{\pi I_0}{f^2c}\int\limits_{0}^r\rho^3d\rho=\cfrac{\pi I_0r^4}{4f^2c}{.}
$$
Подставляя $f$, получим: