Первый способ:
Так как колечко невесомое, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю в любой момент времени. Поскольку трения между спицей и колечком нет, спица действует на колечко в направлении, перпендикулярном спице, то есть в вертикальном. Тогда условие равенства нулю равнодействующей приложенных к колечку сил возможно, только если участок нити, соединяющий колечко с бусинкой, в любой момент ориентирован вертикально.
Поскольку длина всей нити постоянна, а участок нити, соединяющий бусинку и кольцо, всё время остаётся вертикальным и по условию в начальный момент времени нить натянута, можем найти проекции начальной скорости на направление нитей.
Вертикальный участок удлиняется со скоростью:
$$v_{0y}=v_0\sin\alpha;$$
горизонтальный участок укорачивается со скоростью:
$$|v_{0x}|=v_0\cos\alpha;$$
Чтобы длина нити оставалась постоянной, модули проекций скоростей должны быть равны:
$$v_{0y}=|v_{0x}|;\Rightarrow v_0\sin\alpha=v_0\cos\alpha;\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=1;\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}.$$
Второй способ:
Участок нити, соединяющий бусинку и кольцо, всё время остаётся вертикальным и по условию в начальный момент времени нить натянута. Пусть $b$ — расстояние от спицы до точки крепления нити $O$. Приравняем длину нити через малое время $\Delta t$ к начальной длине $L+b$:
$$L+b=b+v_{0y}\Delta t+\sqrt{(v_{0y} \Delta t)^2+(L-v_{0x} \Delta t)^2};$$
где $v_{0x},~v_{0y}$ — горизонтальная и вертикальная проекции начальной скорости.
$$(L-v_{0y}\Delta t)^2=(v_{0y} \Delta t)^2+(L-v_{0x} \Delta t)^2\\
L^2-2Lv_{0y}\Delta t=L^2-2Lv_{0x}\Delta t +(v_{0x}\Delta t)^2.$$
Пренебрежём вторым порядком малости:
$$v_{0y}=v_{0x};\Rightarrow v_0\sin\alpha=v_0\cos\alpha;\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=1;\Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}.$$
С учётом этого:
$$L=y+\sqrt{y^2+x^2};\\y^2+x^2=L^2-2Ly+y^2;\\y=\frac{L}{2}-\frac{x^2}{2L}.$$
Таким образом, траектория движения при условии натяжения нити является параболой.
Далее найдём минимальную возможную начальную скорость $v_{0min}$ бусинки, при которой нить будет оставаться натянутой в процессе удаления бусинки от спицы.
Первый способ:
При свободном броске в поле тяжести траекторией будет являться парабола, которая касается полученной параболы. Для случая, когда начальная скорость минимальна, траектория полёта в поле тяжести совпадает с траекторией для всегда натянутой нити. Получим уравнение траектории при свободном движении в поле тяжести:
$$\begin{cases}
y=v_{0min}\sin(\alpha)t-\frac{gt^2}{2}\\
x=L-v_{0min}\cos (\alpha)t
\end{cases}$$
учтём, что $\alpha=\pi/4$, тогда:
$$y=L-x-\frac{g(L-x)^2}{v_{0min}^2};\\
y=\frac{Lv_{0min}^2-gL^2}{v_{0min}^2 }+\frac{2gL-v_{0min}^2}{v_{0min}^2} x-\frac{g}{v_{0min}^2}x^2.$$
Сравнивая полученные уравнения для траекторий, получим:
$$v_{0min}^2=2gL.\\.$$
Второй способ:
Траектория движения при условии натяжения нити является параболой.
При свободном броске в поле тяжести под фиксированным углом $\alpha=\pi/4$
к горизонту траекториями полёта будут являться параболы, касающиеся параболы по которой движется бусинка на нити. Для случая, когда начальная скорость минимальна, траектория полета в поле тяжести совпадает с траекторией для всегда натянутой нити.
Найдем горизонтальную проекцию скорости в случае броска по совпадающей траектории:
$$L=v_xt\Rightarrow t=\frac{L}{v_x};\\\frac{L}{2}=\frac{gt^2}{2}=\frac{gL^2}{2v_x^2}\Rightarrow v_x=\sqrt{gL}\Rightarrow v_{0min}=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\sqrt{2gL}.$$
Третий способ:
При свободном броске в поле тяжести траекторией будет являться парабола, которая касается полученной параболы. Для случая, когда начальная скорость минимальна, траектория полета в поле тяжести совпадает с траекторией для всегда натянутой нити.
Запишем закон сохранения энергии для системы "бусинка+нить+кольцо". Поскольку нить и кольцо являются невесомыми, их механические энергии равны нулю. Работа сил, действующих на конец $O$ нити со стороны крепления и на кольцо со стороны спицы, равна нулю, поскольку конец нити $O$ закреплён и не перемещается, а кольцо движется перпендикулярно силе взаимодействия со спицей.
$$\begin{cases}
\frac{m(v_{0x}^2+v_{0y}^2)}{2} = \frac{mv_{0x}^2}{2} + \frac{mgL}{2}\\
v_{0y} = v_{0min} \sin \alpha
\end{cases}$$
учитывая, что $\alpha = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$$v_{0min}^2 = 2gL \Rightarrow v_{0min} = \sqrt{2gL}.$$
Покажем, что при скоростях больших чем $v_{0min}$, бусинка будет продолжать двигаться по параболе ограниченной нитью.
Рассмотрим силы со стороны нити на бусинку. С двух сторон бусинки на нее действуют одинаковые силы натяжения. Тогда результирующая этих двух сил направленна по биссектрисе угла, образованного нитями. Аналогично первой части решения можно показать, что проекция скорости бусинки на вертикальную ось и на ось, направленную вдоль наклонного участка нити, будут равны по модулю. Это означает, что скорость бусинки направлена по биссектрисе внешнего угла, образованного нитями. Так как биссектрисы внешнего и внутреннего углов перпендикулярны, получаем, что скорость всегда перпендикулярна результирующей сил натяжения, а значит работу не совершает и не тормозит бусинку при любых скоростях, больших минимальной.
При скоростях больших чем $v_{0min}$ нить является натянутой, поскольку бусинка движется по кривой с меньшим радиусом кривизны, чем у траектории, соответствующей свободному полёту в поле тяжести.
Тогда нить будет оставаться натянутой в процессе удаления бусинки от спицы при:
$$v_{0} \geqslant \sqrt{2gL}.$$