Для определения момента силы трения $M$ в шарнире будем добавлять малые грузы (дополнительные шайбы) в любом месте полки весов пока не начнётся движение полки вниз. Это произойдет при общей массе малых грузов $\Delta m$. Рассчитаем момент силы трения в шарнире, используя метод виртуальных перемещений. Он основан на том факте, что при выводе механической системы из положения равновесия на бесконечно малое расстояние суммарная работа внешних сил равна нулю.
В силу конструктивного несовершенства исследуемой установки масса дополнительного груза $\Delta m$, выводящего весы из состояния равновесия, может зависеть от того, с какой стороны расположен этот груз. Целесообразно проверить, насколько совпадают или отличаются значения $\Delta m$ при размещении их на левой или правой полках весов. На контрольной установке были получены следующие результаты при расположении дополнительных грузов справа: $\Delta m_п=4~г$ и $M_{1п}=\Delta m_п g \frac{a}{2}=3{.}7 \cdot 10^{-3}~Н\cdotм$.
При расположении грузов слева: $\Delta m_л=3~г$ и $M_{1л}=\Delta m_л g \frac{a}{2}=2{.}8 \cdot 10^{-3}~Н\cdotм$.
Усредним полученные результаты. Момент силы трения в верхнем шарнире наших весов без нагрузки равен:
Закрепим большие грузы максимально близко к вертикальным рейкам. Убедимся в устойчивости горизонтального положения верхней и нижней реек весов. Определим массу дополнительного груза $\Delta m$, выводящего систему из состояния покоя в нагруженном состоянии. На контрольной установке были получены следующие результаты при расположении дополнительных грузов справа: $\Delta m_п=17~г$ и $M_{2п}=\Delta m_п g \frac{a}{2}\approx16 \cdot 10^{-3}~Н\cdotм$.
При расположении грузов слева: $\Delta m_л=15~г$ и $M_{2л}=\Delta m_л g \frac{a}{2}\approx14 \cdot 10^{-3}~Н\cdotм$. Усредним полученные результаты и получим, что момент силы трения в верхнем шарнире наших весов под нагрузкой равен:
Для удобства измерения величины $x$ прочертим линию, соединяющую шарниры правой вертикальной рейки параллелограмма. Расстояние от этой линии до ближайшего отверстия на горизонтальной полке равно 52 мм. Так как остальные отверстия расположены с интервалом 20 мм, то все возможные для измерений расстояния $x_i$ определяются соотношением $x_i=(52+20i)~мм$. Занесём эти значения в таблицу.
Последовательно перевешивая правый груз в отверстиях правой полки, снимаем зависимость $F(x)$. Результаты измерений представлены в таблице.
$x,~мм$ $F,~Н$ 72 0.2 92 0.6 112 1.0 132 1.3 152 1.8 172 2.1 192 2.5 212 2.9 232 3.2
График полученной зависимости представлен на рисунке 4. На графике отложена погрешность измерений по оси $F$, которая принимается равной цене деления динамометра 0.1 Н.
Для нахождения массы грузов используем условие равновесия относительно верхнего шарнира. Правило моментов в этом случае имеет вид:
\[m_0g(x+a/2)=m_0g(x_0+a/2)+Fb+ M_{трп}, \tag{1}\]где $x_0$ – расстояние от точки подвеса левого груза до оси левой рейки параллелограмма, $M_{трп}$ – суммарный момент, создаваемый силами трения покоя. Сила тяжести, действующая на рамку весов, не создаёт вращательного момента, так как приложена в центре параллелограмма и направлена вертикально вниз, её плечо относительно верхнего шарнира равно нулю. После преобразований получаем:
\[F=\frac{m_0gx}{b}+C. \tag{2}\]$F(x)$ является линейной зависимостью, угловой коэффициент которой $k= m_0g/b$ даёт возможность определить массу груза. Второе слагаемое $C$ в (2) является константой.
Проведём на графике прямые с максимально и минимально возможными наклонами (см. рисунок 4). Угловые коэффициенты этих прямых $k_{max}=20{.}0~Н/м$ и $k_{min}=17{.}7~ Н/м$, из которых получаем $m_{0max}= 610~г$ и $m_{0min}= 540~г$. Среднее значение массы груза $m_0= 575~г$, погрешность $\pm40~г$.
Окончательно для массы груза $m_0=\left(580\pm40\right)~г$. Погрешность составляет 6%. Эталонное значение массы груза $m_0= 560~г$.
Сила, действующая на рамку со стороны верхнего шарнира, представляет собой векторную сумму вертикальной силы $F_в=2m_0g+Mg$, где $M$ – полная масса рамки весов, и горизонтальной силы $F_г$, которая равна по величине и противоположно направлена силе $F$, действующей со стороны основания на нижний шарнир. Модули последних двух сил равны друг другу, так как они являются единственными горизонтальными силами, действующими на рамку, а вращательный момент относительно центра тяжести рамки отсутствует. Таким образом,
\[Q=\sqrt{F_в^2+F^2}. \tag{3}\]
$x,~мм$ $F,~Н$ $Q,~Н$ 72 0.2 14.10 92 0.6 14.11 112 1.0 14.13 132 1.3 14.16 152 1.8 14.21 172 2.1 14.26 192 2.5 14.32 212 2.9 14.39 232 3.2 14.46
График зависимости $Q(x)$ представлен на рисунке 6. График похож на параболу. Убедимся, что это так. В нашем случае можно считать, что $F \ll F_в$. Тогда
$$Q=\sqrt{F_в^2+F^2} = F_в\sqrt{1+\frac{F^2}{F_в^2}} \approx F_в\left(1+\frac{F^2}{2F_в^2}\right) = F_в+\frac{F^2}{2F_в},$$
а в искомое выражение входит квадрат линейной зависимости $F(x)$. Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались тем, что $\sqrt{1+\alpha} \approx1+\frac{\alpha}{2}$ при $α \ll1$.
