Как вы знаете, отражения повседневных объектов в зеркалах и их изображения в линзах могут иметь довольно причудливую форму. Но и в этих случаях можно восстановить форму исходного объекта. Этому и будет посвящена данная задача.

Часть A. Фото в пузыре (4 балла)

A1  ^0.50 Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$.

A2  ^1.00 Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$.

A3  ^2.50 В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$.

Примечание: Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.

Часть B. Площадь квадрата (6 балла)

Квадрат со стороной $a$ помещают на ось собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$. Две стороны квадрата параллельны оптической оси, другие две – перпендикулярны. Положение центра квадрата задаётся координатой $x$ вдоль оптической оси, центр линзы находится в точке $x_0$. Изображение квадрата – трапеция, зависимость площади которой $S(x)$ исследуется в этой части задачи.

Примечание: При решении этой задачи можете использовать формулу тонкой линзы, согласно которой расстояние $u$ от линзы до источника света, расстояние $v$ от линзы до изображения и фокусное расстояние линзы $F$ связаны друг с другом соотношением:\[\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{F}.\]Также при решении считайте известным, что изображение отрезка в линзе также представляет собой отрезок, если он не пересекает фокальную плоскость.

B1  ^1.00 Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$.

В листе ответов приведена зависимость $S(x)$, причём в точке $x=16~см$ площадь изображения становится неизмеримо большой. Эту зависимость намного удобнее анализировать, если в ней отсутствует расходимость (т.е. она всегда принимает конечные значения).

B2  ^1.00 Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$.

Для дальнейшей обработки удобно восстановить значение $f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$. Это можно сделать, экстраполировав (продлив) зависимость $f(x)S(x)$.

B3  ^1.00 Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$.

Примечание: Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки

B4  ^0.50 Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$.

Каждая точка полученной зависимости позволяет найти $a$, $F$ и координату $x_0$ центра линзы.

B5  ^2.50 Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$.