Pho.rs: Кривые зеркала

A1 ^0.50 Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$.

1 Связь координаты точки падения луча на пузырь с углом падения $\rho\approx R\sin\alpha$	0.10
2 Связь угла падения с углом отклонения луча (утверждения вида «отражённый луч пойдёт под углом $2\alpha$ к горизонтали»)	0.10
3 Связь координаты источника с углом отклонения луча $r=L\operatorname{tg}2\alpha$	0.10
4 Ответ $r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$	0.20

A2 ^1.00 Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$.

1 Выражение для элемента площади $\mathrm dS=r~\mathrm dr\mathrm d\varphi$	0.20
2 Корректное дифференцирование выражения $r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$	0.50
3 Ответ $\text{d}S = \frac{4L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho \: \text{d}\varphi$	0.30

A3 ^2.50 В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$.

Примечание:
Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.

1 Представление ответа как площади под графиком (засчитывается любая корректная формула)	0.20
2 Снятие точек	14 × 0.05
3 Пересчёт точек в соответствии с правильной формулой	14 × 0.05
4 Построение графика (засчитывается, если проведено численное интегрирование)	0.50
5 Ответ $S = 0.98~\text{м}^2$	0.40

B1 ^1.00 Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$.

1 Обоснованное утверждение «Изображение квадрата – трапеция»	0.00
2 Найдена высота трапеции	0.30
3 Найдены основания трапеции	2 × 0.20
4 Ответ $S(x) = \frac{a^2F^3(x-x_0-F)}{((x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4})^2}$	0.30

B2 ^1.00 Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$.

1 $f(x)=(x-16~см)^2$ или любая другая функция, устраняющая расходимость (ответ $f(x)=x-16~см$ не подходит!)	0.10
2 Пересчитаны точки	9 × 0.10

B3 ^1.00 Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$.

Примечание:
Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки

M1 Квадратичная экстраполяция
2 M1 Расчётные формулы / графический метод	0.30
3 M1 Пересчёт точек	0.30
4 M1 Ответ $(1850\pm150)~см^4$	0.40
M2 Линейная экстраполяция
6 M2 Расчётные формулы / графический метод	0.30
7 M2 Ответ $(1850\pm50)~см^4$	0.30

B4 ^0.50 Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$.

1 Пересчёт точек

10 × 0.05

B5 ^2.50 Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$.

1 Получено квадратное уравнения для нахождения $a$	0.25
2 Расчётные формулы для $a$, $F$ и $x_0$	3 × 0.15
3 Пересчёт точек (по 0.05 за каждое значение $a$, $F$ или $x_0$)	27 × 0.05
4 Усреднённые значения $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$	3 × 0.15

Кривые зеркала

Разбалловка