Logo
Logo

Кривые зеркала

Разбалловка

A1  0.50 Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$.

A1. 1 Связь координаты точки падения луча на пузырь с углом падения $\rho\approx R\sin\alpha$ 0.10
A1. 2 Связь угла падения с углом отклонения луча (утверждения вида «отражённый луч пойдёт под углом $2\alpha$ к горизонтали») 0.10
A1. 3 Связь координаты источника с углом отклонения луча $r=L\operatorname{tg}2\alpha$ 0.10
A1. 4 Ответ $r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$ 0.20
A2  1.00 Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$.

A2. 1 Выражение для элемента площади $\mathrm dS=r~\mathrm dr\mathrm d\varphi$ 0.20
A2. 2 Корректное дифференцирование выражения $r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$ 0.50
A2. 3 Ответ $\text{d}S = \frac{4L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho \: \text{d}\varphi$ 0.30
A3  2.50 В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$.

Примечание: Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.

A3. 1 Представление ответа как площади под графиком (засчитывается любая корректная формула) 0.20
A3. 2 Снятие точек 14 × 0.05
A3. 3 Пересчёт точек в соответствии с правильной формулой 14 × 0.05
A3. 4 Построение графика (засчитывается, если проведено численное интегрирование) 0.50
A3. 5 Ответ $S = 0.98~\text{м}^2$ 0.40
B1  1.00 Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$.

B1. 1 Обоснованное утверждение «Изображение квадрата — трапеция» 0.00
B1. 2 Найдена высота трапеции 0.30
B1. 3 Найдены основания трапеции 2 × 0.20
B1. 4 Ответ $S(x) = \frac{a^2F^3(x-x_0-F)}{((x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4})^2}$ 0.30
B2  1.00 Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$.

B2. 1 $f(x)=(x-16~см)^2$ или любая другая функция, устраняющая расходимость (ответ $f(x)=x-16~см$ не подходит!) 0.10
B2. 2 Пересчитаны точки 9 × 0.10
B3  1.00 Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$.

Примечание: Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки

M1 Квадратичная экстраполяция
B3. 2 M1 Расчётные формулы / графический метод 0.30
B3. 3 M1 Пересчёт точек 0.30
B3. 4 M1 Ответ $(1850\pm150)~см^4$ 0.40
M2 Линейная экстраполяция
B3. 6 M2 Расчётные формулы / графический метод 0.30
B3. 7 M2 Ответ $(1850\pm50)~см^4$ 0.30
B4  0.50 Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$.

B4. 1 Пересчёт точек 10 × 0.05
B5  2.50 Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$.

B5. 1 Получено квадратное уравнения для нахождения $a$ 0.25
B5. 2 Расчётные формулы для $a$, $F$ и $x_0$ 3 × 0.15
B5. 3 Пересчёт точек (по 0.05 за каждое значение $a$, $F$ или $x_0$) 27 × 0.05
B5. 4 Усреднённые значения $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$ 3 × 0.15