A1  ^0.50 Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$.

Пусть $\alpha$ – угол падения луча на пузырь, $\beta$ – угол, который радиус, проведенный в точку падения, составляет с горизонталью, $\theta$ – угол падающего луча с горизонталью. Тогда: $$\sin \beta = \frac{\rho}{R}\\ \tan \theta = \frac{\rho}{L-R\cos \beta}\\ \: \\ \alpha = \beta + \theta$$ Угол, который отраженный луч составляет с горизонталью, тогда равен  $\alpha + \beta = 2\beta + \theta$. Следовательно: $$r = \rho + (L-R\cos \beta)\tan 2\beta + \theta$$ Теперь воспользуемся приближением $\rho < R \ll L$. Тогда $\theta \ll 1$, откуда: $$\theta \approx \frac{\rho}{L}\\ \tan 2\beta + \theta \approx \tan 2\beta + \frac{\theta}{\cos^2 2\beta} \\ r = L \tan 2\beta + \left(\rho -R\cos \beta \tan 2\beta + \frac{L\theta}{\cos^2 2\beta}-\frac{\theta R\cos \beta}{\cos^2 2\beta}\right)$$ Все слагаемые в скобках имеют по порядку не более $R \ll L$. Таким образом: $$r = L \tan 2\beta = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$$

A2  ^1.00 Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$.

Малый элемент площади в полярных координатах: $$\text{d}S = r \:\text{d}r\; \text{d}\varphi = \frac{\text{d}\varphi}{2}\text{d}(r^2)$$ Найдем $\text{d}(r^2)$: $$r^2 = \frac{4L^2\rho^2(R^2-\rho^2)}{(R^2-2\rho^2)^2}\\ \text{d}(r^2) = \frac{8L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho$$ Для удобства введем безразмерную величину $\delta = \frac{\rho}{R}$. Тогда: $$\text{d}S = \frac{4L^2\delta \: \text{d}\delta}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\varphi$$

A3  ^2.50 В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$.

Примечание: Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.

Разобьем имеющуюся площадь на сегменты колец радиусом $\delta$ и толщиной $\text{d}\delta$. Обозначим угол, под которым виден этот сегмент из центра $\psi(\delta) = \int \text{d} \varphi$. Тогда для одного кольца: $$\text{d}S = 4L^2 \frac{\delta \: \psi(\delta)}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\delta = L^2 k(\delta) \psi(\delta)\text{d}\delta$$ Итого имеем: $$S = \int_{\delta_{min}}^{\delta_{max}} k(\delta)\psi(\delta)\text{d}\delta$$ Данный интеграл можно вычислить как площадь под графиком $k \psi (\delta)$.

$\delta, ~\frac{1}{60}$	$\psi,~\frac{\pi}{180}~\text{рад}$	$k \cdot \psi$
22.0	15	1.0
23.0	33	2.5
24.0	44	3.9
25.0	58.5	6.1
26.0	67	8.3
27.0	71.5	10.7
27.5	64	10.5
28.0	59.5	10.8
28.5	40.5	8.1
29.0	30	6.7
30.0	17	4.8
31.0	12	4.3
31.5	7	2.8
32.0	1	0.5

Численное интегрирование приводит к $S = 59~\cdot\frac{1}{60}\text{м}^2$ (здесь учтено, что $L = 1~м$)

B1  ^1.00 Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$.

Из формулы тонкой линзы очевидно, что ближняя к линзе сторона квадрата изображается в дальнее от линзы основание трапеции. Пусть $L_1$ – расстояние от ближнего основания трапеции до линзы, а $L_2$ – от дальнего до линзы. Пусть также $2b$ и $2c$ – меньшее и большее основание трапеции соответственно. Тогда: $$S(x) = (b+c)(L_2 - L_1)$$ Из геометрических построений луча, идущего через фокус: $$b = (L_1 - F) \tan \alpha = (L_1 - F)\frac{a}{2F} \\ c = (L_2 - F) \tan \alpha = (L_2 - F)\frac{a}{2F} \\ S(x) = \frac{a}{2F}(L_1 + L_2 -2F)(L_2-L_1)$$ Определим $L_1, L_2$ из формулы тонкой линзы: $$\frac{1}{L_1} + \frac{1}{x-x_0 + \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_1 = \frac{F(x-x_0 + \frac{a}{2})}{x-x_0+\frac{a}{2} - F}\\ \frac{1}{L_2} + \frac{1}{x-x_0 - \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_2 = \frac{F(x-x_0 - \frac{a}{2})}{x-x_0-\frac{a}{2} - F}$$ $$L_2 - L_1 = \frac{aF^2}{(x-x_0 - F)^2-\frac{a^2}{4}}\\ L_1+L_2-2F = \frac{2F^2(x-x_0-F)}{(x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4}}$$ Подставляя в выражение для $S(x)$, получим:

B2  ^1.00 Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$.

Учитывая вид исходной функции, расходимость исчезнет при домножении на $(x-16~см)^2$. По совместительству можем заключить, что $x_0+F+a/2=16~см$. Пересчитанные значения внесём в таблицу.

B3  ^1.00 Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$.

Примечание: Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки

Обозначим $x_0 + F +\frac{a}{2} = 16~\text{см} = x_1, ~(x-x_1) = \delta$. Тогда: $$S(x)f(x) = \frac{a^2F^3(\delta + \frac{a}{2})}{(\delta + a)^2} = \frac{aF^3(1+\frac{2\delta}{a})}{2(1+\frac{\delta}{a})^2}$$ Воспользуемся приближением $\delta \ll a$: $$S(x)f(x) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1+\frac{2\delta}{a}\right)\left(1-2\frac{\delta}{a} - \frac{\delta^2}{a^2} + 4\frac{\delta^2}{a^2}\right) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1-\frac{\delta^2}{a^2}\right)$$ Как видно, в окрестности $x_1$ $S(x)f(x)$ зависит от  $x-x_1$ квадратично, поэтому требуется построить график $S(x)f(x)$ от $(x-x_1)^2$. При этом $C = \frac{aF^3}{2}$. Экстраполируя по первым двум точкам, получаем $C = 1870~\text{см}^4$. По первым трем точкам - $1800~\text{см}^4$. Отметим, что в силу $a \approx 4.5~\text{см}$ и необходимости условия $\delta \ll a$, точки дальше второй не подходят для экстраполяции: уже третья точка приводит к  $\frac{\delta}{a} \sim 1$.

B4  ^0.50 Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$.

B5  ^2.50 Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$.

В пункте B3 найдено: $$\frac{S(x)f(x)}{C} = \frac{1 + 2\frac{\delta}{a}}{(1+\frac{\delta}{a})^2} = A$$ Решая квадратное уравнения относительно $\frac{\delta}{a}$: $$\frac{\delta}{a} = \frac{1-A + \sqrt{1-A}}{A}\\ a = \frac{(x-x_1)A}{1-A + \sqrt{1-A}}$$ Здесь выбран положительный корень, т.к. используются только точки $x > x_1 = 16$ см. Далее: $$C = \frac{aF^3}{2} \Rightarrow F = \left(\frac{2C}{a}\right)^{1/3}\\ x_1 = x_0 + F + \frac{a}{2} \Rightarrow x_0 = x_1 - F - \frac{a}{2}$$ Окончательно имеем, приняв точку $x = 18~\text{см}$ за выброс: