Logo
Logo

Кривые зеркала

A1  0,50 Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$.

Пусть $\alpha$ — угол падения луча на пузырь, $\beta$ — угол, который радиус, проведенный в точку падения, составляет с горизонталью, $\theta$ — угол падающего луча с горизонталью. Тогда:
$$\sin \beta = \frac{\rho}{R}\\
\tan \theta = \frac{\rho}{L-R\cos \beta}\\ \: \\
\alpha = \beta + \theta$$
Угол, который отраженный луч составляет с горизонталью, тогда равен  $\alpha + \beta = 2\beta + \theta$. Следовательно:
$$r = \rho + (L-R\cos \beta)\tan 2\beta + \theta$$
Теперь воспользуемся приближением $\rho < R \ll L$. Тогда $\theta \ll 1$, откуда:
$$\theta \approx \frac{\rho}{L}\\
\tan 2\beta + \theta \approx \tan 2\beta + \frac{\theta}{\cos^2 2\beta} \\
r = L \tan 2\beta + \left(\rho -R\cos \beta \tan 2\beta + \frac{L\theta}{\cos^2 2\beta}-\frac{\theta R\cos \beta}{\cos^2 2\beta}\right)$$
Все слагаемые в скобках имеют по порядку не более $R \ll L$. Таким образом:
$$r = L \tan 2\beta = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$$

Ответ: $$r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$$

A2  1,00 Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$.

Малый элемент площади в полярных координатах:
$$\text{d}S = r \:\text{d}r\; \text{d}\varphi = \frac{\text{d}\varphi}{2}\text{d}(r^2)$$
Найдем $\text{d}(r^2)$:
$$r^2 = \frac{4L^2\rho^2(R^2-\rho^2)}{(R^2-2\rho^2)^2}\\
\text{d}(r^2) = \frac{8L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho$$
Для удобства введем безразмерную величину $\delta = \frac{\rho}{R}$. Тогда:
$$\text{d}S = \frac{4L^2\delta \: \text{d}\delta}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\varphi$$

Ответ: $$\text{d}S = \frac{4L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho \: \text{d}\varphi$$

A3  2,50 В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$.

Примечание: Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.

Разобьем имеющуюся площадь на сегменты колец радиусом $\delta$ и толщиной $\text{d}\delta$. Обозначим угол, под которым виден этот сегмент из центра $\psi(\delta) = \int \text{d} \varphi$. Тогда для одного кольца:
$$\text{d}S = 4L^2 \frac{\delta \: \psi(\delta)}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\delta = L^2 k(\delta) \psi(\delta)\text{d}\delta$$
Итого имеем:
$$S = \int_{\delta_{min}}^{\delta_{max}} k(\delta)\psi(\delta)\text{d}\delta$$
Данный интеграл можно вычислить как площадь под графиком $k \psi (\delta)$.

$\delta, ~\frac{1}{60}$$\psi,~\frac{\pi}{180}~\text{рад}$$k \cdot \psi$
22.0151.0
23.0332.5
24.0443.9
25.058.56.1
26.0678.3
27.071.510.7
27.56410.5
28.059.510.8
28.540.58.1
29.0306.7
30.0174.8
31.0124.3
31.572.8
32.010.5

Численное интегрирование приводит к $S = 59~\cdot\frac{1}{60}\text{м}^2$ (здесь учтено, что $L = 1~м$)

Ответ: $$S = 0.98~\text{м}^2$$

B1  1,00 Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$.

Из формулы тонкой линзы очевидно, что ближняя к линзе сторона квадрата изображается в дальнее от линзы основание трапеции.
Пусть $L_1$ — расстояние от ближнего основания трапеции до линзы, а $L_2$ — от дальнего до линзы. Пусть также $2b$ и $2c$ — меньшее и большее основание трапеции соответственно. Тогда:
$$S(x) = (b+c)(L_2 - L_1)$$
Из геометрических построений луча, идущего через фокус:
$$b = (L_1 - F) \tan \alpha = (L_1 - F)\frac{a}{2F} \\
c = (L_2 - F) \tan \alpha = (L_2 - F)\frac{a}{2F} \\
S(x) = \frac{a}{2F}(L_1 + L_2 -2F)(L_2-L_1)$$
Определим $L_1, L_2$ из формулы тонкой линзы:
$$\frac{1}{L_1} + \frac{1}{x-x_0 + \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_1 = \frac{F(x-x_0 + \frac{a}{2})}{x-x_0+\frac{a}{2} - F}\\
\frac{1}{L_2} + \frac{1}{x-x_0 - \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_2 = \frac{F(x-x_0 - \frac{a}{2})}{x-x_0-\frac{a}{2} - F}$$
$$L_2 - L_1 = \frac{aF^2}{(x-x_0 - F)^2-\frac{a^2}{4}}\\
L_1+L_2-2F = \frac{2F^2(x-x_0-F)}{(x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4}}$$
Подставляя в выражение для $S(x)$, получим:

Ответ: $$S(x) = \frac{a^2F^3(x-x_0-F)}{((x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4})^2}$$

B2  1,00 Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$.

Учитывая вид исходной функции, расходимость исчезнет при домножении на $(x-16~см)^2$. По совместительству можем заключить, что $x_0+F+a/2=16~см$. Пересчитанные значения внесём в таблицу.

Ответ:
$x,~см$$S,~см^2$$S\cdot(x-16~см)^2,~см^4$$S\cdot (x-16~см)^2,~см^4/S_0$$S(x)f(x)/C$$a,~см$$F,~см$$x_0,~см$
16$-$$-$$-$1.00---
1844017801.000.956.98.14.39
209415000.840.805.09.14.42
223612800.720.684.79.294.38
2417.411100.630.594.69.364.36
269.89800.550.524.59.414.35
286.18800.490.474.59.444.34
304.07900.440.424.49.474.33
322.87200.410.394.49.474.33
342.06600.370.354.49.494.32

B3  1,00 Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$.

Примечание: Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки

Обозначим $x_0 + F +\frac{a}{2} = 16~\text{см} = x_1, ~(x-x_1) = \delta$. Тогда:
$$S(x)f(x) = \frac{a^2F^3(\delta + \frac{a}{2})}{(\delta + a)^2} = \frac{aF^3(1+\frac{2\delta}{a})}{2(1+\frac{\delta}{a})^2}$$
Воспользуемся приближением $\delta \ll a$:
$$S(x)f(x) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1+\frac{2\delta}{a}\right)\left(1-2\frac{\delta}{a} - \frac{\delta^2}{a^2} + 4\frac{\delta^2}{a^2}\right) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1-\frac{\delta^2}{a^2}\right)$$
Как видно, в окрестности $x_1$ $S(x)f(x)$ зависит от  $x-x_1$ квадратично, поэтому требуется построить график $S(x)f(x)$ от $(x-x_1)^2$. При этом $C = \frac{aF^3}{2}$. Экстраполируя по первым двум точкам, получаем $C = 1870~\text{см}^4$. По первым трем точкам - $1800~\text{см}^4$.

Отметим, что в силу $a \approx 4.5~\text{см}$ и необходимости условия $\delta \ll a$, точки дальше второй не подходят для экстраполяции: уже третья точка приводит к  $\frac{\delta}{a} \sim 1$.

B4  0,50 Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$.

B5  2,50 Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$.

В пункте B3 найдено:
$$\frac{S(x)f(x)}{C} = \frac{1 + 2\frac{\delta}{a}}{(1+\frac{\delta}{a})^2} = A$$
Решая квадратное уравнения относительно $\frac{\delta}{a}$:
$$\frac{\delta}{a} = \frac{1-A + \sqrt{1-A}}{A}\\
a = \frac{(x-x_1)A}{1-A + \sqrt{1-A}}$$
Здесь выбран положительный корень, т.к. используются только точки $x > x_1 = 16$ см.
Далее:
$$C = \frac{aF^3}{2} \Rightarrow F = \left(\frac{2C}{a}\right)^{1/3}\\
x_1 = x_0 + F + \frac{a}{2} \Rightarrow x_0 = x_1 - F - \frac{a}{2}$$
Окончательно имеем, приняв точку $x = 18~\text{см}$ за выброс:

Ответ: $$\bar a = (4.54 \pm 0.19)~\text{см}\\ \bar F = (9.38 \pm 0.13)~\text{см}\\ \bar x_0 = (4.35 \pm 0.03)~\text{см}$$