Pho.rs: Маятник Капицы

A1 ^0.50 Система имеет одну степень свободы, угол $\varphi$, и положение маятника можно описать функцией этого угла. Выразите декартовы координаты тела $x(t)$ и $y(t)$ как функции угла $\varphi(t)$ и времени.

1 $$ x(t)=l\sin\varphi$$	0.20
2 $$y(t)=a\cos{\omega}t-l\cos\varphi$$	0.30

A2 ^0.50 Найдите компоненты скорости $v_x$ и $v_y$ тела. Ответ выразите через угловую скорость $\frac{d\varphi}{dt}$ и время.

1 $$v_x=\frac{dx}{dt}=l\cos{\varphi}\frac{d\varphi}{dt} $$	0.20
2 $$v_y=\frac{dy}{dt}=l\sin{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}-{\omega}a \sin{\omega}t $$	0.30

A3 ^0.50 Найдите кинетическую и энергию тела. Ответ выразите через угол $\varphi$, угловую скорость $\frac{d\varphi}{dt}$ и время.

1 $$E_k=\frac{m}{2}\Bigr(\Bigr(l\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)^2+\Bigr({\omega}a \sin{\omega}t\Bigl)^2-2{\omega}al \sin{\omega}t \sin{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)
$$

0.50

A4 ^1.00 Получите выражение для мгновенной мощности $N$ силы, прикладываемой к точке подвеса маятника. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega, \varphi, \frac{d\varphi}{dt}, \frac{d^2\varphi}{dt^2}$ и время.

1 $N=\vec{F_o}\vec{v_o}=F_{oy}\frac{dy_o}{dt} $ или записано выражение для полной энергии	0.20
2 $$F_{oy}=mg+m\frac{d^2y}{dt^2} ~или~ N=\frac{dW_\textit{полн}}{dt}$$	0.20
3 $$N=-m{\omega}a\sin{\omega}t\Bigr(g - {\omega}^2 a \cos{\omega}t + l\Bigr(\sin{\varphi} \frac{d^2{\varphi}}{dt^2}+\cos{\varphi}\Bigr(\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)^{2}\Bigl)\Bigl) $$ или получено верное выражение для $\frac{dW_\textit{полн}}{dt}$	0.60

A5 ^1.00 Покажите, что уравнение движения выглядит следующим образом:
$$
\cfrac{d^2\varphi}{dt^2}=-\cfrac{1}{l}(g-a~\omega^2\cos \omega t)\sin \varphi.
$$

1 Произведен переход в НИСО, связанную с точкой подвеса и получено $F_{и}=m{\omega}^2 a \cos{\omega}t$	0.30
2 Верно записан 2 закон Ньютона для $a_\tau$ или уравнение моментов	0.40
3 Получено искомое выражение	0.30

B1 ^1.00 Покажите, что выражение для быстрой компоненты — $\beta=-\frac{a}{l}~\sin\gamma \cos\omega t$ (для произвольного значения $\gamma$) является приближенным решением уравнения движения из пункта A5 при указанных выше условиях. Рассмотрите режим колебаний, в котором $g$ пренебрежимо мал по сравнению с $a\omega^2$, т.е. $a\omega^2\gg g$.

1 Указано, что $\frac{d^2{\beta}}{dt^2}=\frac{d^2{\varphi}}{dt^2} $	0.20
2 $$\frac{d^2{\beta}}{dt^2}=\frac{{\omega}^2 a}{l} \sin{\gamma} \cos {\omega}t$$	0.40
3 Получено искомое выражение	0.40

B2 ^2.50 Комбинируя уравнение движения из пункта A5 с разложением $\varphi=\gamma+\beta$ и с выражением из предыдущего пункта, найдите выражение для $\frac{d^2\gamma}{dt^2}$, которое описывает динамику медленной компоненты $\gamma$ усредняя по большому количеству быстрых колебаний с частотой $\omega$, пренебрегая только членами порядка $a^n$, где $n>2$. Выразите $\frac{d^2\gamma}{dt^2}$ через $g, a, \omega, l$ и $\gamma$. Упростите окончательное выражение, считая $l\omega^2\gg a\omega^2\gg g$.

1 Для усреднения применено $\frac{d^2{\varphi}}{dt^2}=\frac{d^2{\gamma}}{dt^2} $	0.50
2 $$\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}=-\frac{1}{lt}\int\limits_0^{t} (g-a\omega^2\cos \omega t)\Bigr(\sin{\gamma}\cos{\beta}+\cos{\gamma}\sin{\beta}\Bigl)dt $$	0.60
3 $$\sin{\beta}=\beta~и~\cos{\beta}=1-\frac{{\beta}^2}{2} $$	0.40
4 $$\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}=-\frac{1}{l}\Bigr(g~\sin{\gamma}+\frac{a^2{\omega}^2\sin{2\gamma}}{4l}\Bigl) $$	1.00

B3 ^0.70 Получите выражение для усредненного по времени момента всех сил $M_O$, действующих на маятник относительно точки подвеса. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega$ и $\gamma$.

1 Для усреднения применено $\frac{d^2{\varphi}}{dt^2}=\frac{d^2{\gamma}}{dt^2} $	0.20
2 $$M_o=-ml\Bigr(g~\sin{\gamma}+\frac{a^2{\omega}^2\sin{2\gamma}}{4l}\Bigl) $$	0.50

B4 ^0.70 Назовем эффективным потенциалом скалярную функцию $V(\gamma)$, производная которой по углу $\gamma$ равняется усредненному моменту сил из предыдущего пункта, взятому со знаком минус. Получите выражение для эффективного потенциала $V(\gamma)$ с точностью до произвольной постоянной. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega$ и $\gamma$.

1 $$V(\gamma)=-mgl\cos{\gamma}-\frac{ma^2{\omega}^2\cos^2{\gamma}}{4}+C
$$

0.70

B5 ^1.00 Покажите, что для $(a\omega)^2>2gl$ этот потенциал имеет несколько минимумов: минимум при $\gamma=0$, который появляется в случае свободных колебаний маятника; дополнительный минимум $\gamma=\pi$. Покажите, что оба положения удовлетворяют условиям устойчивого равновесия.

1 Получено достаточное условие существования нескольких минимумов $(a{\omega})^2>2gl $	0.40
2 Показано, что $\frac{dV}{d\gamma}=0$ при $\gamma = 0$	0.10
3 Показано, что $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$ при $\gamma = 0$	0.20
4 Показано, что $\frac{dV}{d\gamma}=0$ при $\gamma = \pi$	0.10
5 Показано, что $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$ при $\gamma = \pi$ $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$	0.20

B6 ^0.60 Найдите периоды колебаний $T_0$ и $T_\pi$ величины $\gamma$, соответствующие положениям из пункта B5.

1 $$T_o=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}+\frac{a^2{\omega}^2}{2l^2}}} $$	0.30
2 $$T_{\pi}=\frac{2\pi}{\sqrt{-\frac{g}{l}+\frac{a^2{\omega}^2}{2l^2}}} $$	0.30

Маятник Капицы

Разбалловка