Logo
Logo

Маятник Капицы

Разбалловка

A1  0,50 Система имеет одну степень свободы, угол~$\varphi$, и положение маятника можно описать функцией этого угла. Выразите декартовы координаты тела $x(t)$ и $y(t)$ как функции угла $\varphi(t)$ и времени.

A1. 1 $$ x(t)=lsin\varphi$$ 0,20
A1. 2 $$y(t)=acos{\omega}t-lcos\varphi$$ 0,30
A2  0,50 Найдите компоненты скорости $v_x$ и $v_y$ тела. Ответ выразите через угловую скорость $\frac{d\varphi}{dt}$ и время.

A2. 1 $$v_x=\frac{dx}{dt}=lcos{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}
$$
0,20
A2. 2 $$v_y=\frac{dy}{dt}=lsin{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}-{\omega}a sin{\omega}t
$$
0,30
A3  0,50 Найдите кинетическую и энергию тела. Ответ выразите через угол $\varphi$, угловую скорость $\frac{d\varphi}{dt}$ и время.

A3. 1 $$E_k=\frac{m}{2}\Bigr(\Bigr(l\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)^2+\Bigr({\omega}a sin{\omega}t\Bigl)^2-2{\omega}al sin{\omega}t sin{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)
$$
0,50
A4  1,00 Получите выражение для мгновенной мощности $N$ силы, прикладываемой к точке подвеса маятника. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega, \varphi, \frac{d\varphi}{dt}, \frac{d^2\varphi}{dt^2}$ и время.

A4. 1 $N=\vec{F_o}\vec{v_o}=F_{oy}\frac{dy_o}{dt}
$ или записано выражение для полной энергии
0,20
A4. 2 $$F_{oy}=mg+m\frac{d^2y}{dt^2} ~или~ N=\frac{dW_\textit{полн}}{dt}$$ 0,20
A4. 3 $$N=-m{\omega}asin{\omega}t\Bigr(g - {\omega}^2 a cos{\omega}t + l\Bigr(sin{\varphi} \frac{d^2{\varphi}}{dt^2}+cos{\varphi}\Bigr(\frac{d\varphi}{dt}\Bigl)^{2}\Bigl)\Bigl)
$$ или получено верное выражение для $\frac{dW_\textit{полн}}{dt}$
0,60
A5  1,00 Покажите, что уравнение движения выглядит следующим образом:
$$
\cfrac{d^2\varphi}{dt^2}=-\cfrac{1}{l}(g-a~\omega^2\cos \omega t)\sin \varphi.
$$

A5. 1 Произведен переход в НИСО, связанную с точкой подвеса и получено $F_{и}=m{\omega}^2 a cos{\omega}t$ 0,30
A5. 2 Верно записан 2 закон Ньютона для $a_\tau$ или уравнение моментов 0,40
A5. 3 Получено искомое выражение 0,30
B1  1,00 Покажите, что выражение для быстрой компоненты~— $\beta=-\frac{a}{l}~\sin\gamma \cos\omega t$ (для произвольного значения~$\gamma$) является приближенным решением уравнения движения из пункта A5 при указанных выше условиях. Рассмотрите режим колебаний, в котором $g$ пренебрежимо мал по сравнению с $a\omega^2$, т.е. $a\omega^2\gg g$.

B1. 1 Указано, что $\frac{d^2{\beta}}{dt^2}=\frac{d^2{\varphi}}{dt^2}
$
0,20
B1. 2 $$\frac{d^2{\beta}}{dt^2}=\frac{{\omega}^2 a}{l} sin{\gamma} cos {\omega}t$$ 0,40
B1. 3 Получено искомое выражение 0,40
B2  2,50 Комбинируя уравнение движения из пункта A5 с разложением $\varphi=\gamma+\beta$ и с выражением из предыдущего пункта, найдите выражение для $\frac{d^2\gamma}{dt^2}$, которое описывает динамику медленной компоненты~$\gamma$ усредняя по большому количеству быстрых колебаний с частотой~$\omega$, пренебрегая только членами порядка $a^n$, где $n>2$. Выразите $\frac{d^2\gamma}{dt^2}$ через $g, a, \omega, l$ и $\gamma$. Упростите окончательное выражение, считая $l\omega^2\gg a\omega^2\gg g$.

B2. 1 Для усреднения применено $\frac{d^2{\varphi}}{dt^2}=\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}
$
0,50
B2. 2 $$\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}=-\frac{1}{lt}\int\limits_0^{t} (g-a\omega^2\cos \omega t)\Bigr(sin{\gamma}cos{\beta}+cos{\gamma}sin{\beta}\Bigl)dt
$$
0,60
B2. 3 $$sin{\beta}=\beta~и~cos{\beta}=1-\frac{{\beta}^2}{2}
$$
0,40
B2. 4 $$\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}=-\frac{1}{l}\Bigr(g~sin{\gamma}+\frac{a^2{\omega}^2sin{2\gamma}}{4l}\Bigl)
$$
1,00
B3  0,70 Получите выражение для усредненного по времени момента всех сил $M_O$, действующих на маятник относительно точки подвеса. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega$ и $\gamma$.

B3. 1 Для усреднения применено $\frac{d^2{\varphi}}{dt^2}=\frac{d^2{\gamma}}{dt^2}
$
0,20
B3. 2 $$M_o=-ml\Bigr(g~sin{\gamma}+\frac{a^2{\omega}^2sin{2\gamma}}{4l}\Bigl)
$$
0,50
B4  0,70 Назовем эффективным потенциалом скалярную функцию $V(\gamma)$, производная которой по углу $\gamma$ равняется усредненному моменту сил из предыдущего пункта, взятому со знаком минус. Получите выражение для эффективного потенциала $V(\gamma)$ с точностью до произвольной постоянной. Ответ выразите через $m, g, l, a, \omega$ и $\gamma$.

B4. 1 $$V(\gamma)=-mglcos{\gamma}-\frac{ma^2{\omega}^2cos^2{\gamma}}{4}+C
$$
0,70
B5  1,00 Покажите, что для $(a\omega)^2>2gl$ этот потенциал имеет несколько минимумов: минимум при $\gamma=0$, который появляется в случае свободных колебаний маятника; дополнительный минимум $\gamma=\pi$. Покажите, что оба положения удовлетворяют условиям устойчивого равновесия.

B5. 1 Получено достаточное условие существования нескольких минимумов $(a{\omega})^2>2gl
$
0,40
B5. 2 Показано, что $\frac{dV}{d\gamma}=0$ при $\gamma = 0$ 0,10
B5. 3 Показано, что $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$ при $\gamma = 0$ 0,20
B5. 4 Показано, что $\frac{dV}{d\gamma}=0$ при $\gamma = \pi$ 0,10
B5. 5 Показано, что $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$ при $\gamma = \pi$ $\frac{d^2V}{d\gamma^2}>0$ 0,20
B6  0,60 Найдите периоды колебаний $T_0$ и $T_\pi$ величины $\gamma$, соответствующие положениям из пункта B5.

B6. 1 $$T_o=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}+\frac{a^2{\omega}^2}{2l^2}}}
$$
0,30
B6. 2 $$T_{\pi}=\frac{2\pi}{\sqrt{-\frac{g}{l}+\frac{a^2{\omega}^2}{2l^2}}}
$$
0,30