1  ^?? Чему равна высота столба жидкости в левом сосуде?

Рассмотрим давление $P_1$ в левом и $P_2$ в правом сосудах на уровне дна. По закону сообщающихся сосудов эти давления должны быть равны: $P_1= P_2$.
Пусть $X$ искомый уровень жидкости в левом сосуде, тогда рассмотрим гидростатические давления на уровне дна:
$$\rho gX=\rho g4H+0{,}8\rho g5H.$$После всех сокращений и преобразований получаем:

2  ^?? Какая часть объёма левого цилиндра погружена в жидкость?

Обозначим объём погруженной части левого цилиндра $V_1$. Запишем условие равновесия для этого тела:
$$\rho gV_1=mg+T,$$где $mg$ – сила тяжести цилиндра, $T$ – сила натяжения нити.
Теперь запишем условие равновесия для правого цилиндра, учитывая то, что на него действуют две силы Архимеда: со стороны жидкости плотностью $\rho$ и со стороны жидкости плотностью $0{,}8\rho$.
$$\rho g\frac V2+0{,}8\rho g\frac V2=mg+T.$$У условий равновесия одинаковые правые части, значит, мы можем приравнять их левые части:
$$\rho gV_1=\rho g\frac V2+0{,}8\rho g\frac V2.$$После всех преобразований получаем:

3  ^?? Определите в долях $H$ на сколько после этого сместится верхняя граница жидкости плотностью $0{,}8\rho$ в правом сосуде?

Пусть верхняя граница жидкости в правом сосуде сместится вверх на $\Delta H$, значит и граница раздела жидкостей в правом сосуде тоже сместится вверх на $\Delta H$. Из условия равенства давлений в сообщающихся сосудах следует, что столб жидкости с плотностью $\rho$ в левом сосуде тоже должен увеличиться на $\Delta H$.
Левый цилиндр в новом состоянии равновесия будет полностью погружён в жидкость. Значит, выталкивающая сила, действующая на него, возрастёт. Он переместится вверх на величину $b$. Можем записать формулу связи этих величин: $\Delta H= b + 0{,}1H$. Отсюда $b = \Delta H - 0{,}1H$.
Из нерастяжимости нити следует, что правый цилиндр опустится на эту же величину. Глубина погружения правого цилиндра в жидкость плотностью $\rho$ увеличится на $(b + \Delta H)$, а в жидкость плотностью $0{,}8\rho$ уменьшится на ту же величину. Запишем новое уравнение равновесий для левого цилиндра:
$$mg+T_1=\rho SgH.$$Для правого: $$mg+T_1=\rho Sg\left(\frac H2+\Delta H+b\right)+0{,}8\rho Sg\left(\frac H2-\Delta H-b\right).$$Так как левые части этих уравнений равны, то можем приравнять правые и после всех сокращений и преобразований получим: $H=0{,}9H+0{,}2H+0{,}2b.$
Подставим выражение для $b$ и после всех преобразований получим: