Угловая скорость движения Луны:\[\omega_Л=\frac{360^\circ}{27.3~дня}=\frac{360^\circ}{655.2~ч}\approx0.55^\circ/ч=\frac{60\cdot0.55'}{60~мин}=0.55'/мин=\frac{60\cdot0.55''}{60~с}=0.55''/с.\]
Примечание: видимый угловой диаметр Луны равен 30 угловым минутам.
A. Дифракционная картина.
B. Неустойчивость в монтировке телескопа.
C. Особенности поверхности Луны.
D. Атмосферные условия Земли.
Зависимость интенсивности, показанная на рисунке, – типичная картина для дифракции на полуплоскости (правильный вариант A). Другие варианты не могут объяснить асимметрию и повторяемость картины (B и D) либо описывают эффекты другого масштаба (C).
A. Эти два компонента вращались вокруг Луны.
B. Наша линия наблюдения изменилась по отношению к двум компонентам.
C. При повторном появлении из-за лунного диска компоненты были выровнены относительно него.
D. Временные масштабы физики, лежащей в основе светимости двух компонентов, были достаточно большими, чтобы один из них потускнел.
Как окажется далее, размеры этих объектов не позволяют какому-либо из них синхронно потускнеть за время покрытия (D), а расстояние до них полностью исключает возможность ответов A и B. Если посмотреть на рисунок 2, можно заметить, что на фотографии при повторном появлении источники находятся на почти одинаковом расстоянии от диска Луны. Правильный ответ – C.
Оценим угловое расстояние между двумя компонентами 3C 273. В качестве оценки возьмём время между пиками интенсивности от компонента A и компонента B при покрытии Луной и умножим его на угловую скорость Луны. Получим:\[\Delta t\approx0.8~мин\implies \Delta\varphi={0.8~мин}\cdot{60\cdot0.55''/мин}=26''\approx30''.\]Любые аргументированные оценки подобного порядка корректны.
Из рисунка можно получить длины волн:\[\mathrm{H\beta}:\qquad \lambda_\mathrm{3C~273}\approx 560~ нм,\qquad \lambda_\mathrm{lab}\approx485~нм\\\mathrm{H\gamma}:\qquad \lambda_\mathrm{3C~273}\approx 505~ нм,\qquad \lambda_\mathrm{lab}\approx440~нм\\\mathrm{H\delta}:\qquad \lambda_\mathrm{3C~273}\approx 475 ~нм,\qquad \lambda_\mathrm{lab}\approx415~нм\]Отношения длин волн в спектре источника и в лабораторном спектре примерно одинаковые, и из них получается значение красного смещения:
Для того, чтобы показать, что такой объект разрушит гравитационную систему, нужно сравнить любую величину: массы, потенциальные энергии, характерные скорости и т.д. в системе и рядом с объектом. Сравним массы, разрешив уравнение на красное смещение относительно массы:\[M=\frac{c^2r}{2G}\left[1-\frac{1}{(z+1)^2}\right].\]Для Солнечной системы получим:\[M\sim10^9M_\mathrm{Sun}.\]Для Галактики получим:\[M\sim 10^{17}M_\mathrm{Sun}\gg M_\mathrm{MW}.\]В обоих случаях масса оказывается больше на многие порядки, что означает разрушение систем.
Расстояние до объекта находим по формуле:\[d=\frac{v}{H}=\frac{zc}{H}\approx 6\cdot10^2~Мпк\gg r_\mathrm {MW}\] – на несколько порядков больше радиуса Галактики.
Примечание: $1~ пк=3.09\cdot10^{16}~ м$.
Подставляем в формулу:\[L_\nu=4\pi d^2F_\nu\approx1.1\cdot10^{30}\nu^{-0.3}~\frac{Вт}{Гц}.\]
Интегрируем:\[L=1.1\cdot10^{30}\cdot\int\limits_{\nu_1}^{\nu_2}\nu^{-0.3}\,\mathrm d\nu=\frac{1.1\cdot10^{30}}{0.7}\left.\nu^{0.7}\right|_{\nu=10^7}^{10^11}=8\cdot10^{37}~Вт.\]
Отношение светимостей объекта и Солнца:\[\frac{L}{L_\mathrm{Sun}}\sim 2\cdot10^{11}\ggg1.\]Отношение светимостей объекта и Галактики:\[\frac{L}{L_\mathrm{MW}}\approx 14\gg1.\]Как видно, светимость объекта заметно больше даже светимости Галактики.
Вычислим длину волны и частоту фотонов света, возникающих при аннигиляции электронов и позитронов. Энергия этих фотонов равна энергии покоя электрона, $E_\gamma=m_ec^2\approx0.5~МэВ\approx 8\cdot10^{-14}~Дж$. Тогда частота этих фотонов:\[\nu_\gamma=\frac{h}{E_\gamma}\approx1.2\cdot 10^{20}~Гц,\]а их длина волны:\[\lambda=\frac{c}{\nu}\approx2.4~пм.\]Учитывая, что частота оптических фотонов составляет порядка $10^{15}~Гц$, а радиоволн – порядка $10^7\ldots10^{11}~Гц$ (их длины волн – $10^{-6}~м$ и $10^{-3}\ldots10^1~м$ соответственно), производство энергии действительно нельзя объяснить аннигиляцией.
Гравитационная потенциальная энергия задаётся выражением:\[W=-\frac{GMm}{r}.\]Подставим радиус Шварцшильда:\[W=-\frac{GMmc^2}{2GM}=-\frac{mc^2}{2}.\]Следовательно, в результате аккреции должно выделяться примерно:\[P=\frac{M_\mathrm {Sun}c^2}{2\cdot 1 ~год}\approx2.9\cdot10^{39}~\frac{Дж}{с}.\]
Это на порядок больше светимости источника 3C 273 в радиодиапазоне, поэтому этой энергии должно хватать.
Объёмную плотность энергии можно записать в виде:\[u=\alpha B^{-3/2}+\beta B^2,\]где $\alpha,\beta > 0$ -- некоторые не зависящие от магнитного поля коэффициенты. Запишем условие минимума плотности энергии:\[\frac{\mathrm du}{\mathrm dB}=0,\quad \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dB^2} > 0.\]Тогда:\[0=-\frac{3}{2}\alpha B^{-5/2}+2\beta B=-\frac{3}{2}\frac{U_\mathrm e}{B}+2\frac{U_B}{B}\implies \frac{U_\mathrm e}{U_B}=\frac{4}{3}.\]При этом вторая производная:\[ \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dB^2} =\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{U_\mathrm e}{B^2}+2\cdot\frac{U_B}{B^2}=2\cdot\left[\frac{5}{2}+1\right]\cdot\frac{U_B}{B^2}=\frac{7U_B}{B^2} > 0.\]Что и требовалось доказать.
Подсказка: магнитная проницаемость вакуума равна $4\pi\cdot 10^{-7}~ Тл\cdot м\cdot А^{-1}$.
Из предыдущего пункта следует, что магнитная энергия составляет $\dfrac{3}{7}$ доли от общей энергии джета. Таким образом, объёмная плотность магнитной энергии в джете равна:\[u_B=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot10^{37}~Вт\cdot 1~с\big/10^{45}~м\approx 2\cdot10^{-8}~\frac{Дж}{м^3}.\]Теоретически плотность магнитной энергии даётся выражением:\[u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}\implies B=\sqrt{2\mu_0 u_B}\approx 2.1\cdot10^{-7}~Тл.\]