В этой задаче вы будете исследовать колебания математического маятника. Первая часть посвящена зависимости периода колебаний одиночного маятника от амплитуды. Вторая и третья части будут посвящены связанным колебаниям математических маятников.

Оборудование

1. Штатив с лапкой и муфтой
2. Перекладина
3. Два металлических шарика
4. Секундомер
5. Линейка $50~ см$
6. Ножницы
7. Нить

Часть A. Период колебаний маятника (4 балла)

Период малых колебаний математического маятника задаётся выражением:\[T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\]Однако, если амплитуду нельзя считать малой, потенциальная энергия маятника в поле тяжести перестаёт быть строго квадратичной, поэтому период колебаний начинает зависеть от амплитуды. Из соображений симметрии он не может зависеть от амплитуды линейно, поэтому в простейшем случае:\[T(\phi_0)=T_0\Big[1+\beta\sin^2\left(\phi_0/2\right)\Big],\]где $\phi_0$ – угловая амплитуда колебаний, а $\beta$ – численный коэффициент, который вам предстоит найти.

Подвесьте один из шариков на нити длиной чуть менее $50~см$.

A1  ^0.50 Измерьте и запишите длину подвеса $l$.

A2  ^1.50 Снимите зависимость периода колебаний от угловой амплитуды. Для того, чтобы достичь необходимой точности, снимайте бы 3-5 серий по 10-20 колебаний.

A3  ^1.50 Линеаризуйте полученную зависимость. Построив график, определите период малых колебаний $T_0$ и коэффициент $\beta$.

A4  ^0.50 Из полученных вами значений $l$ и $T_0$ вычислите ускорение свободного падения $g$.

Используйте это значение в дальнейшем!

Часть B. Связанные маятники (3.5 балла)

Соберите установку из двух связанных маятников, как показано на рисунке ниже:

Сборка установки требует точности и аккуратности! Следите, чтобы подвес оставался симметричным! На грубо собранной установке очень сложно наблюдать необходимые эффекты!

B1  ^0.50 Измерьте и запишите расстояние от перекладины до шариков $H$ и расстояние от перекладины до горизонтальной нити $h$.

У маятника существует две моды (два «типа») колебаний перпендикулярно плоскости подвеса: когда шарики колеблются в фазе и в противофазе. В первом случае колеблется одновременно весь подвес, и его длина оказывается равна расстоянию от перекладины до шариков. Во втором случае колеблется только участок подвеса до горизонтальной нити, из-за чего уменьшается эффективная длина подвеса, и колебания происходят с немного меньшим периодом.

B2  ^1.50 Измерьте как можно точнее период колебаний $T_1$ шариков в фазе. Используя значение $g$ из предыдущей части, определите, какой длине подвеса это соответствует. Совпадает ли это значение с величиной $H$?

B3  ^1.50 Измерьте как можно точнее период колебаний $T_2$ шариков в противофазе. Используя значение $g$ из предыдущей части, определите, какой длине подвеса это соответствует. Совпадает ли это значение с величиной $H-h$?

Часть C. Биения (2.5 балла)

Поскольку колебания шариков линейные, имеет место их суперпозиция. Если отклонить один из шариков и отпустить (второй шарик при этом свободно покоится), то со временем первый шарик перестаёт колебаться, и начинает колебаться второй, а через некоторое время – снова первый. Это явление называется биениями.

C1  ^1.00 Выразите период биений $T_b$ через периоды колебаний $T_1$ и $T_2$ при условии $|T_2-T_1|\ll T_{1,2}$.

C2  ^1.50 Измерьте как можно точнее период биений $T_b$ вашей установки.

Зная $H$, $T_1$, $T_2$ и $T_b$, рассчитайте эффективную длину подвеса при колебаниях шариков в противофазе.