Pho.rs: Колебания магнитного диполя

A1 ^0.80 Найдите магнитное поле $\vec{B}(\vec{r})$, создаваемое первым диполем в окрестности второго диполя. Выразите ответ через магнитную проницаемость вакуума $\mu_0$, $r$, $\theta$ и $\mu_1$.

1 Общая формула: $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3 \left(\vec{\mu} \cdot \vec{r} \right) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{\mu}}{r^3} \right)$	0.30
2 $B_x = \frac{\mu_0 \mu_1}{4\pi r^3} \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right)$	0.20
3 $B_y = \frac{\mu_0 \mu_1}{4\pi r^3} \cdot 3 \cos \theta \sin \theta$	0.20
4 $B_z = 0$	0.10

A2 ^0.80 Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

1 Общая формула: $\vec{M} = \vec{\mu}_2 \times \vec{B}$	0.30
2 $M_x = 0$	0.10
3 $M_y = 0$	0.10
4 $M_z = \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi r^3} \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right)$	0.30

A3 ^0.60 Найдите энергию взаимодействия диполей $U$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

1 Общая формула: $U = - \left( \vec{\mu}_2 \vec{B} \right)$	0.30
2 $U = - \left( \vec{\mu}_2 \cdot \vec{B} \right) = -\frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi r^3} \left( \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \cos \alpha + 3 \cos \theta \sin \theta \sin \alpha \right)$	0.30

A4 ^1.20 Найдите силу $\vec{F}$, действующую на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

1 Общая формула: $\vec{F} = - \nabla U$ или $\vec{F} = \left( \vec{\mu}_2 \nabla \right) \vec{B}$	0.30
2 $F_x = \frac{3 \mu_0 \mu_1 \mu_2}{4\pi r^4} \cdot \left( 3 \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha - 5 \cos^2 \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \right)$	0.40
3 $F_y = \frac{3 \mu_0 \mu_1 \mu_2}{4\pi r^4} \cdot \left( \sin \alpha \cos \theta + \sin \theta \cos \alpha - 5 \cos \theta \sin \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \right)$	0.40
4 $F_z = 0$	0.10

A5 ^1.30 Найдите $\ddot{\theta}$ и $\ddot{\alpha}$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $\theta$, $\alpha$, $m$ и $I$.

1 Уравнение моментов для второго диполя: $I \ddot{\alpha} = M_z$	0.30
2 Получено второе уравнение: $m R^2 \ddot{\theta} = \left( \vec{r} \times \vec{F} \right)_z$	0.40
3 $\ddot{\alpha} = \frac{k}{I} \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right)$	0.20
4 Получено $\ddot{\theta}$	0.40

A6 ^1.10 Найдите собственные частоты колебаний системы $\omega_1$ и $\omega_2$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $m$ и $I$.

1 Получена линеаризованная система для $\ddot{\alpha}$ и $\ddot{\theta}$	0.20
2 Получена линейная система для $\alpha_0$ и $\theta_0$	0.20
3 Получено уравнение на $\omega$: $\omega^4 \cdot m R^2 I - 2 \omega^2 \cdot \left( k m R^2 + 3 k I \right) + 3 k^2 = 0$	0.30
4 Ответ: $\omega_{1,2} = k \cdot \frac{\left( m R^2 + I \right) \pm \sqrt{ \left( m R^2 + I \right)^2 - 3 m R^2 I }}{m R^2 I}$	2 × 0.20

A7 ^0.40 Для обеих мод найдите отношение амплитуд $c_1 = \alpha_1/\theta_1$ и $c_2 = \alpha_2/\theta_2$. Выразите ответ через $m$, $R$ и $I$.

1 Ответ: $c = \frac{\alpha_0}{\theta_0} = \frac{6 k - m R^2 \omega^2}{k}$

2 × 0.20

A8 ^0.80 Зависимость углов от времени можно представить как
\begin{align*}
\theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\
\alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right).
\end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$.

1 $\varphi_1 = 0$	0.15
2 $\varphi_2 = 0$	0.15
3 $\theta_1 = \frac{\beta}{c_1 - c_2}$	0.25
4 $\theta_2 = \frac{\beta}{c_1 - c_2}$	0.25

Колебания магнитного диполя

Разбалловка