A1  ^0.80 Найдите магнитное поле $\vec{B}(\vec{r})$, создаваемое первым диполем в окрестности второго диполя. Выразите ответ через магнитную проницаемость вакуума $\mu_0$, $r$, $\theta$ и $\mu_1$.

Поле диполя дается формулой
\begin{equation*}
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3 \left(\vec{\mu} \cdot \vec{r} \right) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{\mu}}{r^3} \right).
\end{equation*}Зная координаты $\vec{\mu}_1 = \mu_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ и $\vec{r} = r \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}$, находим поле:

A2  ^0.80 Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

Подставляя $\vec{\mu}_2 = \mu_2 \begin{pmatrix}
\cos \alpha \\
\sin \alpha \\
0
\end{pmatrix}$ в $\vec{M} = \vec{\mu}_2 \times \vec{B}$, находим момент:

A3  ^0.60 Найдите энергию взаимодействия диполей $U$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

A4  ^1.20 Найдите силу $\vec{F}$, действующую на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$.

Дифференцируя потенциальную энергию, найдем силу:
\begin{multline*}
\vec{F} = - \nabla U = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \left[ -\frac{\left( \vec{\mu}_1 \vec{\mu}_2 \right)}{r^3} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{r}}{r^5} \right] = \\ =
\frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{\mu}_2 \right) \vec{r}}{r^5} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \vec{\mu}_2}{r^5} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{\mu}_1}{r^5} - \frac{15 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{r}}{r^7} \right].
\end{multline*}Подставляя $\vec{\mu}_1$, $\vec{\mu}_2$ и $\vec{r}$, получим

A5  ^1.30 Найдите $\ddot{\theta}$ и $\ddot{\alpha}$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $\theta$, $\alpha$, $m$ и $I$.

Запишем уравнение моментов относительно центра масс второго диполя (при этом момент силы взаимодействия стержня и диполя равен нулю):
\begin{equation*}
I \ddot{\alpha} = M_z = k \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right),
\end{equation*}где для удобства введено обозначение $k = \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi R^3}$. Отсюда находим $\ddot{\alpha}$:
\begin{equation*}
\ddot{\alpha} = \frac{k}{I} \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right).
\end{equation*}Теперь рассмотрим систему "стержень + второй диполь". Ее момент относительно начала координат равен $m R^2 \dot{\theta} + I \dot{\alpha}$, а действующий на нее момент сил равен $\vec{M} + \vec{r} \times \vec{F}$, откуда
\begin{equation*}
m R^2 \ddot{\theta} + I \ddot{\alpha} = \left( \vec{M} + \vec{r} \times \vec{F} \right)_z.
\end{equation*}Вычитая из этого уравнения уравнение моментов для второго диполя, получим
\begin{equation*}
m R^2 \ddot{\theta} = F_z = r_x F_y - r_y F_x.
\end{equation*}Отсюда находим $\ddot{\theta}$:

A6  ^1.10 Найдите собственные частоты колебаний системы $\omega_1$ и $\omega_2$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $m$ и $I$.

При малых $\alpha$ и $\theta$ уравнения из предыдущего пункта переходят в следующую систему:
\begin{equation*}
\begin{cases}
m R^2 \ddot{\theta} = 3 k \left( \alpha - 2 \theta \right) \\
I \ddot{\alpha} = k \left( 3 \theta - 2 \alpha \right)
\end{cases}.
\end{equation*}Будем искать решение в виде $\theta = \theta_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$, $\alpha = \alpha_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$. После подстановки в систему и сокращения на косинус, получим
\begin{equation*}
\begin{cases}
- m R^2 \omega^2 \theta_0 = 3 k \left( \alpha_0 - 2 \theta_0 \right) \\
- I \omega^2 \alpha_0 = k \left( 3\theta_0 - 2 \alpha_0 \right)
\end{cases}.
\end{equation*}Перенесем для удобства все в левую часть:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\theta_0 \cdot \left(6 k - m R^2 \omega^2 \right) - \alpha_0 \cdot 3k = 0 \\
- \theta_0 \cdot 3 k + \alpha_0 \cdot \left( 2 k - I \omega^2 \right) = 0
\end{cases}.
\end{equation*}При произвольном $\omega$ эта система линейных уравнений имеет лишь одно решение: $\theta_0 = \alpha_0 = 0$. Чтобы система имела другие решения, она должна быть вырожденной, т.е. одно уравнение должно быть эквивалентно другому:
\begin{equation*}
\frac{6 k - m R^2 \omega^2}{- 3 k} = \frac{- 3 k}{2 k - I \omega^2},
\end{equation*}Немного преобразуя, получим биквадратное уравнение:
\begin{equation*}
\omega^4 \cdot m R^2 I - 2 \omega^2 \cdot \left( k m R^2 + 3 k I \right) + 3 k^2 = 0,
\end{equation*}откуда находим собственные частоты:

A7  ^0.40 Для обеих мод найдите отношение амплитуд $c_1 = \alpha_1/\theta_1$ и $c_2 = \alpha_2/\theta_2$. Выразите ответ через $m$, $R$ и $I$.

Используя, например, первое уравнение из системы на $\alpha_0$ и $\theta_0$, найдем:
\begin{equation*}
c = \frac{\alpha_0}{\theta_0} = \frac{6 k - m R^2 \omega^2}{k}.
\end{equation*}После подстановки $\omega^2$ получим

A8  ^0.80 Зависимость углов от времени можно представить как
\begin{align*}
\theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\
\alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right).
\end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$.

Продифференцировав $\theta$ и $\alpha$ по времени, найдем угловые скорости:
\begin{align*}
\dot{\theta} &= - \omega_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) - \omega_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\
\dot{\alpha} &= - c_1 \omega_1 \theta_1 \sin \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) - c_2 \omega_2 \theta_2 \sin \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \\
\end{align*}Т.к. в начальный момент скорости равны нулю, то синусы должны быть равны нулю, т.е. $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$. Подставляя в $\theta(t)$ и $\alpha(t)$ начальные значения при $t=0$, получим
\begin{align*}
0 &= \theta_1 + \theta_2, \\
\beta &= c_1 \theta_1 + c_2 \theta_2.
\end{align*}Решая систему, находим