Ураган — это сильный тропический шторм с центром низкого давления (глазом урагана), вокруг которого с большой скоростью вращаются воздушные массы. Общее название подобных природных явлений — циклоны. На западе их называют ураганами, в Азии — тайфунами. Независимо от названия, ураган формируется над теплой морской водой.

Часть A. Механика урагана (4.4 балла)

Примечание: В механике сплошных сред частица жидкости — это некоторый объем жидкости, намного меньший, чем объем всей жидкости, чтобы считаться частицей, и намного больший, чем молекула жидкости, чтобы жидкость можно было описывать макроскопически.

A1  ^0.60 Получите выражение для скорости частицы, которая находится во внешней области вихря на расстоянии $r$ от оси. Частица входит во внешнюю область на расстоянии $r_0$ от оси с радиальной скоростью $v_0$. Считайте, что во внешней области вихря поток воздуха не вращается.

Между внешней областью вихря и боковой поверхностью глаза урагана есть цилиндрический слой, в котором азимутальная компонента скорости частицы выражается следующим образом $v_{\varphi}=\dfrac{C}{r}$, где $C$ — положительная постоянная. При этом зависимость радиальной компоненты скорости $v_r$ не меняется.

A2  ^1.70 Получите уравнение, описывающее траекторию движения частицы в указанном цилиндрическом слое. Частица входит в цилиндрический слой из внешней области на расстоянии $r=r_1 < r_0$.

Обычно разность температур в атмосфере приводит к разнице давлений. Разность давлений, в свою очередь, приводит в движение атмосферный воздух, это, конечно же, называется ветрами. Это движение воздуха наблюдается в системе отсчета Земли, которая является неинерциальной системой отсчета из-за своего суточного вращения ($\omega = 7.29 \cdot 10^{-5}~рад/с$). Чтобы записать второй закон Ньютона в этой системе отсчета, к силам, обусловленным взаимодействиями, нужно добавить несколько сил инерции. Одна из таких сил — сила Кориолиса: $\vec F_{cor}=-2m\vec\omega\times \vec v_{rel},$ где $\vec v_{rel}$ — это скорость движения тела относительно неинерциальной системы отсчета. Несмотря на то, что угловая скорость вращения Земли мала, значение силы Кориолиса становится заметным по мере того, как скорость тела возрастает.

A3  ^0.50 Перерисуйте схему, приведенную выше. На каждой стрелке укажите направление действия силы Кориолиса. Перерисуйте направления движения воздуха (стрелки) в соответствии с действием силы Кориолиса.

По мере того как скорость ветра увеличивается, его направление более значимо изменяется под действием силы Кориолиса. Так может продолжаться вплоть до замыкания траекторий движения частиц в кольцо: когда сила Кориолиса становится сравнимой с силой давления. Именно такое круговое движение наблюдается в цилиндрическом слое вблизи боковой поверхности глаза урагана.

Рассмотрим частицу небольшого объема $\delta V$, расположенную на расстоянии $r$ от оси глаза. Частица движется вокруг оси с постоянной скоростью. Плотность воздуха $\rho=1.29~кг/м^3$.

A4  ^1.30 Получите уравнение движения частицы и выразите скорость ветра через градиент давления $\frac{\delta p}{\delta r}$, расстояние $r$, плотность воздуха $\rho$, широту $\lambda$ и угловую скорость вращения Земли $\omega$.

В таблице ниже приведены параметры ураганов различных категорий (таблица Саффира-Симпсона).

A5  ^0.30 Вычислите минимальное значение градиента давления на расстоянии 25 км от центра области низкого давления, чтобы ветер можно было назвать ураганом.

Часть B. Термодинамика урагана (5.6 баллов)

B1  ^0.80 Используя информацию выше, определите максимальную скорость передачи энергии океана в кинетическую энергию ветра. Считайте, что скорость получаемой от океана теплоты положительна: $\frac{dQ_1}{dt} > 0$.

В урагане механическая энергия ветра превращается в теплоту из-за трения в ветре, причем почти всё это происходит на поверхности океана. Эта теплота, в свою очередь, вносит вклад в скорость, с которой теплота получается от океана.

Все движение воздуха происходит внутри цилиндра, осью которого является ось глаза урагана. Высота цилиндра — 17 км, радиус основания — 100 км.

B2  ^1.60 Пусть $\frac{dQ_{10}}{dt}$ — это скорость, с которой теплота отдается океаном при испарении. Получите выражение для $\frac{dQ_{10}}{dt}$, связав его с заданными температурами, плотностью воздуха и скоростью ветра. Ответ можно дать с точностью до коэффициента пропорциональности порядка единицы.

Пусть $h$ — удельная энтальпия (энтальпия, приходящаяся на единицу массы) втекающего сухого воздуха (при постоянном давлении изменение энтальпии равно теплоте, которой система обменялась с окружающей средой). И пусть $h^*$ — удельная энтальпия влажного воздуха над поверхностью океана (удельная теплота парообразования на самом деле является энтальпией парообразования).

B3  ^1.20 Получите выражение для $\frac{dQ_{10}}{dt}$, связав его с удельными энтальпиями, указанными выше. Ответ можно дать с точностью до коэффициента пропорциональности порядка единицы.

В стационарных условиях (постоянное локальное давление и температура в любой точке поверхности океана) удельная энтальпия паров воды при температуре $0~^\circ\mathrm{C}$ равна $h_{w0}=2437~кДж/кг$, и удельная теплоемкость воды равна $c_{p,w}=4.18~кДж/(кг\cdot К)$. Можно считать, что над поверхностью океана влажность воздуха равна 100\%. Молярная масса воздуха $M_a=28.97~г/моль$, давление насыщенных паров воды при $300~К$ равно $p_s=3.561~кПа$ и атмосферное давление равно 101.3 кПа. Пары воды можно считать идеальным газом.

B4  ^2.00 Считая, что оба выражения для $\frac{dQ_{10}}{dt}$ справедливы для любого расстояния $R$, превышающего радиус глаза урагана, найдите и рассчитайте максимальное значение скорости ветра.