Физические константы

Введение

Торнадо – это одно из наиболее смертоносных атмосферных явлений, известных человеку. Оно представляет собой сильный вихрь (вращающийся столб) воздуха, соединяющий землю с основанием кучево-дождевого\footnote{Кучево-дождевые облака – это очень высокие, плотные вертикальные облака, которые отвечают за грозы и прочую дождливую погоду} облака. Отличительной особенностью торнадо является его воронка (область II), которая состоит из маленьких капель воды, конденсирующихся при всасывании в неё, как показано на рис. 1b. Эта область определяется радиусом $r_C(z)$, который обычно возрастает с высотой, образуя характерную для торнадо воронкообразную форму.
Область I расположена снаружи воронки. В нашей упрощенной модели области I и II обладают разным распределением скоростей.

Рассмотрим физику торнадо. Используя простую модель, изображенную на рис. 1b, в этой задаче мы оценим скорость вращения торнадо, давление и температуру внутри него, а также найдем форму торнадо – зависимость $r_C(z)$.

Часть A. Безветренная погода (2.0 балла)

Рассмотрим атмосферное давление тропосферы – нижней части атмосферы, в которой происходят большинство природных явлений, включая торнадо. Начнём с точки $A$ далеко от торнадо. В этой точке давление равно $P_0$, температура – $T_0$ (см. "Физические константы").

A1  ^0.80 Считайте, что ускорение свободного падения и температура постоянны, а воздух можно считать идеальным газом. Покажите, что давление зависит от высоты $z$ следующим образом:
\begin{equation*}
P(z) = P_0 e^{-\alpha z},
\end{equation*}где $\alpha$ – некоторая константа. Найдите $\alpha$. Выразите ответ через постоянные, приведенные в части "Физические константы".

A2  ^1.00 Пусть теперь плотность воздуха постоянна и равна $\rho_{\text{air}}$. Найдите зависимость давления от высоты $P(z)$.
В такой ситуации температура зависит от высоты линейно. Найдите градиент температуры $b = \frac{dT}{dz}$.

A3  ^0.20 Используя результат пункта A2, найдите давление в точке $B$ на основании кучево-дождевого облака. Высота $h = 1~\text{км}$.

Часть B. Форма воронки (3.9 балла)

Воронка формируется за счёт конденсации водяного пара, который попадает в торнадо вместе с воздухом. Водяной пар конденсируется, когда температура падает ниже точки росы. Падение температуры вызвано падением давления, поэтому точки, в которых водяной пар начинает конденсироваться, лежат на поверхности одинакового давления, называемой \textit{изобарным граничным слоем} (красная граница на рис. 2). Это граница между областями I и II.
В данной части мы рассматриваем лишь область I (кроме пункта B1). Рассмотрим точку $G$ (см. рис. 2), близкую к земле ($z\approx0$), на расстоянии $r=r_G$ от оси торнадо. Точка $G$ лежит на изобарном граничном слое. В этой точке скорость ветра $v_G$ можно рассматривать как скорость вращения торнадо у земли.

Мы делаем также следующие предположения:

• торнадо стационарно (вращается, но не движется поступательно)
• радиальная скорость ветра много меньше тангенциальной скорости $v=v(r)$
• скорость ветра зависит только от $r$, но не от $z$
• турбулентностью очень близко к земле можно пренебречь
• плотность воздуха ($\rho_{air}$) можно считать постоянной

B1  ^0.40 Покажите, что в обеих областях I и II выполняется
\begin{equation*}
\frac{dP}{dr} = \rho_{\text{air}} \frac{v^2}{r}.
\end{equation*}

B2  ^0.50 Найдите зависимость тангенциальной скорости от радиуса $v(r)$ в области I. Выразите ответ через $v_G$ и $r_G$ (скорость и радиус на границе воронки).

B3  ^0.50 Найдите скорость $v_G$.

B4  ^2.00 Найдите зависимость $r_C(z)$. Выразите ответ через $r_G$, $v_G$, $z$ и $g$. Качественно нарисуйте форму торнадо в безразмерных осях $z/h$ и $r/r_G$ (где $h$ изображено на рис. 2).

B5  ^0.50 Большинство торнадо выглядят как воронка (радиус увеличивается при увеличении высоты), но некоторые имеют более постоянный диаметр, как труба. Если другие параметры одинаковы, какой из торнадо имеет бóльшую скорость $v_G$?

Часть C. Воронка торнадо (3.1 балла)

В этой части мы оценим давление в центре торнадо. Теперь мы рассматриваем обе области I и II.

C1  ^1.10 Считая, что в области II ($r < r_C$) торнадо движется как твердое тело, найдите (тангенциальную) скорость $v(r)$ в этой области. Постройте график профиля скорости от $r=0$ до $r=\infty$.

C2  ^1.20 Найдите давление в центре торнадо (точка $C$, на той же высоте, что и точка $G$).

C3  ^0.50 Найдите температуру в центре торнадо (точка $C$).

C4  ^0.30 Опираясь на результаты пункта C3, предположите возможный источник огромной энергии торнадо.

Часть D. Окна (1.0 балл)

Считается, что изменение давления от торнадо может быть причиной «взрывов» плохо вентилируемых зданий, даже если торнадо проходит вдалеке. Поэтому существует мнение, что окна должны быть открыты, чтобы давление внутри дома сравнивалось с давлением снаружи. Однако при этом ветер и мусор могут свободно проникать в дом.
Рассмотрим дом, у которого закрыли все окна и отверстия, с крышей размерами (ширина $\times$ длина $\times$ высота) $15$ м $\times$ $15$ м $\times$ $0.1$ м и плотностью $\rho=800\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Торнадо проходит на расстоянии $d=2r_G$ от дома.

D1  ^0.80 Найдите отношение подъемной силы, действующей на крышу, к ее весу.

D2  ^0.20 Лучше открыть или закрыть окна? Для определенности считайте, что крыша может выдержать силы, в пять раз большие ее веса.