Pho.rs: Торнадо

A1 ^0.80 Считайте, что ускорение свободного падения и температура постоянны, а воздух можно считать идеальным газом. Покажите, что давление зависит от высоты $z$ следующим образом:
\begin{equation*}
P(z) = P_0 e^{-\alpha z},
\end{equation*}где $\alpha$ – некоторая константа. Найдите $\alpha$. Выразите ответ через постоянные, приведенные в части "Физические константы".

1 Получено $\frac{dP}{dz} = - \rho g$	0.20
2 Использовано уравнение состояния идеального газа: $\rho = \frac{\mu P}{R T}$	0.20
3 Ответ: $\alpha = \frac{\mu_{\text{air}} g}{R T_0}$	0.20
4 Численный ответ: $\alpha = 1.17\cdot10^{-4}~\text{м}^{-1}$	0.20

A2 ^1.00 Пусть теперь плотность воздуха постоянна и равна $\rho_{\text{air}}$. Найдите зависимость давления от высоты $P(z)$.
В такой ситуации температура зависит от высоты линейно. Найдите градиент температуры $b = \frac{dT}{dz}$.

1 $\frac{dP}{dz} = - \rho_{\text{air}} g$	0.10
2 Ответ: $P(z) = P_0 - \rho_{\text{air}} g z$	0.30
4 Ответ: $b = -\frac{\mu_{\text{air}} g}{R}$	0.30
5 Численный ответ: $b = -0.0342~\text{К}/\text{м}.$	0.30

A3 ^0.20 Используя результат пункта A2, найдите давление в точке $B$ на основании кучево-дождевого облака. Высота $h = 1~\text{км}$.

1 $P_B = 88.2~\text{кПа}$

0.20

B1 ^0.40 Покажите, что в обеих областях I и II выполняется
\begin{equation*}
\frac{dP}{dr} = \rho_{\text{air}} \frac{v^2}{r}.
\end{equation*}

1 Показано, что проекция силы, действующей на малый объем, на радиальное направление, равна $-\frac{dP}{dr}$	0.30
2 Выражение для центростремительного ускорения: $a_r = -\frac{v^2}{r}$	0.10

B2 ^0.50 Найдите зависимость тангенциальной скорости от радиуса $v(r)$ в области I. Выразите ответ через $v_G$ и $r_G$ (скорость и радиус на границе воронки).

1 Указано или используется, что момент импульса сохраняется	0.30
2 $v = \frac{v_G r_G}{r}$	0.20

B3 ^0.50 Найдите скорость $v_G$.

1 Найдено $P(r)$: $P(r) = P_0 - \frac{\rho_{\text{air}} v_G^2}{2} \frac{r_G^2}{r^2}$ (или $P_G = P_0 - \frac{\rho_{\text{air}} v_G^2}{2}$)	0.30
2 Указано или используется, что $P_B = P_G$	0.10
3 Ответ: $v_G = \sqrt{2 g h}$	0.10

B4 ^2.00 Найдите зависимость $r_C(z)$. Выразите ответ через $r_G$, $v_G$, $z$ и $g$. Качественно нарисуйте форму торнадо в безразмерных осях $z/h$ и $r/r_G$ (где $h$ изображено на рис. 2).

1 Получено выражение для $P(r,z)$: $P(r, z) = P_0 - \rho_{\text{air}} g \left( h \frac{r_G^2}{r^2} + z \right)$	0.40
2 Получено уравнение на $r_C$ и $z$	0.40
3 Ответ: $r_C = \frac{r_G}{\sqrt{1 - z/h}}$	0.60
4 График имеет две симметричные ветви	0.20
5 У графика есть горизонтальная асимптота	0.20
6 $r_C$ увеличивается при увеличении $z$	0.20

B5 ^0.50 Большинство торнадо выглядят как воронка (радиус увеличивается при увеличении высоты), но некоторые имеют более постоянный диаметр, как труба. Если другие параметры одинаковы, какой из торнадо имеет бóльшую скорость $v_G$?

1 Более однородный торнадо имеет бóльшую скорость

0.50

C1 ^1.10 Считая, что в области II ($r < r_C$) торнадо движется как твердое тело, найдите (тангенциальную) скорость $v(r)$ в этой области. Постройте график профиля скорости от $r=0$ до $r=\infty$.

1 В области I $v = \omega r$	0.30
2 $\omega = \frac{v_G}{r_G}$	0.30
3 График в начале линеен	0.30
4 График в конце убывает как $1/x$	0.20

C2 ^1.20 Найдите давление в центре торнадо (точка $C$, на той же высоте, что и точка $G$).

1 $\frac{dP}{dr} = \rho_{\text{air}} \frac{v_G^2}{r_G^2} r$	0.20
2 Производная проинтегрирована: $P = \text{const} + \frac{\rho_{\text{air}} v_G^2}{2} \frac{r^2}{r_G^2}$	0.20
3 Получено $P = P_0 - 2 \rho_{\text{air}} g h + \rho_{\text{air}} g h \cdot \frac{r^2}{r_G^2}$	0.20
4 Ответ: $P_C = P_0 - 2 \rho_{\text{air}} g h$	0.40
5 Численный ответ: $P_C = 76.5~\text{кПа}$	0.20

C3 ^0.50 Найдите температуру в центре торнадо (точка $C$).

1 $T_C = \frac{\mu_{\text{air}} P_C}{R \rho_{\text{air}}}$	0.30
2 Численный ответ: $T_C = -17~^{\circ}\text{С}$	0.20

C4 ^0.30 Опираясь на результаты пункта C3, предположите возможный источник огромной энергии торнадо.

1 В качестве причины указана теплота парообразования воды

0.30

D1 ^0.80 Найдите отношение подъемной силы, действующей на крышу, к ее весу.

1 Получена разность давлений: $\Delta P = \frac{\rho_{\text{air}} g h}{4}$	0.20
2 Выражение для веса крыши: $F_{\text{вес}} = \rho g S d$	0.20
3 Ответ: $\frac{\rho_{\text{air}} h}{4 \rho d}$	0.20
4 Численный ответ: $3.75$	0.20

D2 ^0.20 Лучше открыть или закрыть окна? Для определенности считайте, что крыша может выдержать силы, в пять раз большие ее веса.

1 Ответ: закрыть

0.20

Торнадо

Разбалловка