Фоновое излучение $I_\mathrm{back}=1.6~мА$. Коэффициент пропускания тогда задается формулой
\[\alpha = \frac{I-I_\mathrm{back}}{I_0 - I_\mathrm{back}}\]

При измерениях в данной части важно учитывать отражения на границах раздела, т.е. для изучения интенсивности света для заданного $N$ ставить $N$ кювет с раствором молока и $5-N$ кювет с чистой водой.

В слое объёма $dV=S \cdot dL$ содержится $dN=dV\cdot n$ мицелл, каждая из которых поглощает свет, попадающий на неё. Тогда так как интенсивность поглощённого света пропорциональна суммарной площади поглощения в этом слое: $$dI=-I\cdot \frac{dN\delta S}{S}=-I\cdot\delta S\cdot dL\cdot n$$
Проинтегрировав это уравнение, получим
\[ I = I_0 e^{- L n \, \delta S}\]

В рассматриваемом эксперименте меняется длина поглощающего слоя $L = L_0 \cdot N$. Из ответа предыдущего пункта следует линеаризация
\[ \ln \alpha = -N \cdot L_0 n \, \delta S \]

Ответ:

Прямая проходит через ноль и имеет коэффициент наклона $k_\textbf{A5}=0.668$.

В рассматриваемом эксперименте меняется концентрация мицелл. Пусть в исходном растворе молока их концентрация $n_0$, тогда в рассмотренном нами
\[n = n_0 \frac{\Delta V}{V + \Delta V}\], тогда линеаризация:
\[ \ln \alpha = - \frac{\Delta V}{2.8~\text{мл}+\Delta V} \cdot L_0 n_0 \, \delta S.\]

Ответ:

Прямая проходит через ноль и имеет коэффициент наклона $k_\textbf{A6}=17.2$.

По условию эффективная площадь рассеяния мицелл равна:$$\delta S = \frac{8\pi}{3} \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^4\left(\frac{n_b^2-n_0^2}{n_b^2+2n_0^2}\right)^2\cdot r_0^6 = 4.59 \cdot 10^{-17}~м^2$$
Из наклона любого из графиков $k_\textbf{A5}$ и $k_\textbf{A6}$ можно определить концентрацию мицелл $n_0$ в исходном растворе молока.

\[ n_0 = \frac{k_\textbf{A5}}{L_0 \delta S} \cdot \frac{2.9~мл}{0.1~мл} = 4.0 \cdot 10^{19}~м^{-3}\]
\[ n_0 = \frac{k_\textbf{A6}}{L_0 \delta S}= 3.56 \cdot 10^{19}~м^{-3}\]

При этом концентрация молекул казеина $n_\mathrm{Cas}=\frac{2.5~г/л}{23~кг/моль} \cdot N_A = 6.5 \cdot 10^{22}~\text{м}^{-3}$ и $P=n_\mathrm{Cas}/n_0$.

Интенсивность нерассеянного света $I_0=337~мкА$

В последней точке появляется зависимость от времени и через $20~мин$ значение интенсивности становится равным $I_{2,0.2+19}=56.3~мкА$.

До достижения объема $4.0~мл$ концентрация кислоты $c=c_0\frac{\Delta V}{3.0~мл + \Delta V}$. После достижения объема $4.0~мл$ концентрация кислоты
\[c = \frac{\frac{c_0}{4} \cdot 3.0~мл + c_0 \Delta V}{3.0~мл + \Delta V}.\]Для нахождения $\mathrm{pH}$ решим квадратное уравнение, обозначив $\mu=210~\text{г}/\text{моль}$
\[ [\mathrm H^+ ]^2 + [\mathrm H^+ ] k_1 - \frac{ck_1}{\mu} = 0\]\[ \mathcal D = k_1^2 + \frac{4 ck_1}{\mu} \quad \Rightarrow \quad [\mathrm H^+ ] = \frac{-k_1 \pm \sqrt{k_1^2 + \frac{4ck_1}{\mu}}}{2} \]Выбираем положительный корень и получаем две формулы для пересчета $\Delta V$ в $\mathrm{pH}$ (для первой итерации и для второй)
\[ \mathrm{pH} = -\log_{10} \left( \frac{-k_1 + \sqrt{k_1^2 + \frac{4c_0k_1}{\mu} \frac{ \Delta V}{3.0~мл + \Delta V}}}{2} \right), \quad \mathrm{pH} = -\log_{10} \left( \frac{-k_1 + \sqrt{k_1^2 + \frac{4c_0k_1}{\mu} \frac{ 0.75~мл + \Delta V}{3.0~мл + \Delta V}}}{2} \right)\]

Ответ:

Значению $\rm pI$ соответствует $\rm pH$ при $c=c_\text{крит}$

\[\rm pI = 3.0\]

Пусть в среднем $P$ мицелл склеились в одну. Это значит что концентрация мицелл уменьшилась в $P$ раз, а радиус мицеллы увеличился в $P^{1/3}$ раз. Значит $-\ln \alpha \propto nr^6$ увеличится в $P$ раз.

Тогда
\[\frac{dP}{dt} = \frac{1}{19~\text{мин}}\frac{\ln \dfrac{I_{2,0.2}-I_\mathrm{back}}{I_0 - I_\mathrm{back}}}{\ln \dfrac{I_{2,0.2+19}-I_\mathrm{back}}{I_0 - I_\mathrm{back}}}=8.1 \cdot 10^{-2} ~1/мин\]

В воде $\rm pH=7$ и $\rm pI < 7$, поэтому $q < 0$.

До достижения объема $4.0~мл$ концентрация кислоты $c=c_0\frac{\Delta V}{3.0~мл + \Delta V}$, концентрация мицелл $n=n_0 \frac{0.2~мл}{3.0~мл + \Delta V}$.

После достижения объема $4.0~мл$ концентрация кислоты
\[c = \frac{\frac{c_0}{4} \cdot 3.0~мл + c_0 \Delta V}{3.0~мл + \Delta V},\]а концентрация мицелл $n = n_0 \frac{3.0~мл}{4.0~мл} \frac{0.2~мл}{3.0~мл + \Delta V} $.

Если бы радиус мицелл не зависел от $\rm pH$ или если бы они не склеивались то
\[-\ln \alpha_\text{th} = nL_0 \cdot \delta S.\]При этом $\delta S \propto r^6$ и до начала склеивания концентрация $n$ меняется только из-за разбавления согласно формулам выше, поэтому
\[r = 60~нм \cdot \left( \frac{\ln \alpha}{-nL_0 \delta S} \right)^{1/6}\]Заряд одной молекулы $\kappa$-казеина равен $q$, значит заряд всей мицеллы равен $Nq$. Будем рассматривать мицеллу, как сферу с равномерной поверхностной плотностью заряда $\sigma = Nq/(4\pi r^2)$. При этом электрическое поле сразу над поверхностью мицеллой равно
\[E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Nq}{r^2}\]а поле сразу под поверхностью мицеллы равно нулю.

Рассмотрим небольшой участок поверхности мицеллы площадью $dS$. Он имеет поверхностную плотность заряда $\sigma$, поэтому создает электрическое поле $E_2=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ с двух сторон от себя. Обозначим поле всей остальной сферы, кроме участка $dS$, как $E_\text{ост}$.

Общее электрическое поле складывается из $E_2$ и $E_\text{ост}$, поэтому
\[\begin{cases}
E_2 + E_\text{ост} = E_1\\
-E_2 + E_\text{ост} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad E_\text{ост} = E_2 = \frac{E_1}{2} = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0}\frac{Nq}{r^2}.\]

Значит каждая молекула $\kappa$-казеина находится в поле $E_\text{ост}$ и поэтому на ее конец действует электростатическая сила
\[F = \frac{Nq^2}{8 \pi \varepsilon_0 r^2},\]которая уравновешивается силой упругости $k(r-r_0)$. При этом абсолютное значение радиуса $r$ мицеллы меняется очень слабо, что можно подтвердить непосредственным расчётом.

Итоговая линеаризация:
\[r = r_0 + \frac{N e^2 (9.5 \cdot 10^{-4})^2}{8 \pi \varepsilon_0 k \cdot (60 нм)^2} \left( 10^\mathrm{pH} - 10^{\mathrm{pI}}\right)^2.\]Обозначим $X= \left( 10^\mathrm{pH} - 10^{\mathrm{pI}}\right)^2$ и удалим из зависимости точки $\rm pH < 3.1$ т.к. в них радиус начинает увеличиваться, что связанно с процессом склеивания мицелл