В этой задаче вам предлагается изучить прицип работы фотоаппарата на примере камеры-обскуры. Она представляет собой ящик с параллельными стенками, в одной из которых проделано малое отверстие. Свет, проходящий через это отверстие, формирует изображение на противоположной стенке — экране. Изображение любой точки пространства будет находится в месте пересечения луча, идущего из этой точки через отверстие, и экрана.

На экране получается перевёрнутое изображение объектов перед камерой, поэтому фотография получается путём переворота получаемой картины. Удобно ввести систему координат для камеры как показано на рисунке. Координаты $x$, $y$ и $z$ определяют положения объектов в пространстве, а $X$ и $Y$ — координаты изображения.

Часть A. Древняя физика (1.2 балла)

Первые камеры-обскуры представляли собой затемнённые помещения с отверстием в одной из стен. Упоминания о камере-обскуре встречаются ещё в V—IV веке до н.э. — последователи китайского философа Мо-цзы описали возникновение перевёрнутого изображения на стене затемнённой комнаты. Возможно, упоминание о камере-обскуре встречаются у Аристотеля, который задавался вопросом, каким образом может возникать круглое изображение Солнца, когда оно светит через квадратное отверстие. Изучим подробнее этот эффект.

Пусть Солнце на закате снимают с помощью камеры-обскуры, являющейся комнатой длиной $L = 10\text{м}$, с квадратным отверстием. Камера направлена на Солнце, угловой размер Солнца (отношение диаметра Солнца к расстоянию до него от Земли) равен $\alpha = 0.5^\circ$, поэтому все лучи можно считать параксиальными.

A1  ^0.20 Пусть сторона квадратного отверстия равна $a = 1\text{м}$. Найдите характерный угловой размер $\beta$ отверстия при взгляде с экрана. Сравните его с угловым размером Солнца.

A2  ^0.20 Пусть теперь сторона квадратного отверстия равна $a = 5\text{мм}$. Найдите характерный угловой размер $\beta$ отверстия при взгляде с экрана. Сравните его с угловым размером Солнца.

A3  ^0.30 В листах ответов качественно приведите изображение Солнца при $a = 1~\text{м}$. Укажите размеры, характеризующие это изображение.

A4  ^0.50 В листах ответов качественно приведите изображение Солнца при $a = 5~мм$. Укажите размеры, характеризующие это изображение.

Далее во всех частях задачи отверстие будем считать точечным, то есть его угловой размер при взгляде с экрана будет много меньше характерных угловых размеров снимаемых объектов.

Часть B. Фотография человека (1.0 балл)

Рассмотрим фотографирование человека камерой-обскурой. Для качественного описания будем рассматривать человека как стержень длиной $h$. Пусть камера длиной $L$ направлена горизонтально и всегда ориентирована на середину человека. Человек удаляется от камеры со скоростью $v$. В момент времени $t=0$ расстояние между камерой и человеком $l_0$. Считайте, что изображение человека целиком расположено на экране.

B1  ^0.30 Найдите зависимость размера $a$ изображения человека от времени $t$.

B2  ^0.70 На рисунке показаны изображения взрослого человека и Солнца (угловой размер Солнца $\alpha = 0.5^\circ$) в неизвестном масштабе. Оцените, на каком расстоянии был взрослый человек в момент фотографирования.

Часть C. Флаг на воздушном шаре (3.3 балла)

Пусть квадратный флаг со стороной $a$ подвешен за одну из своих вершин к воздушному шару, поднимающемуся вертикально вверх со скоростью $v$. Камера-обскура длиной $L$ снимает флаг и всегда направлена на его центр. Считайте, что камеру поворачивают так, что её отверстие неподвижно. Изначально центр флага и камера находятся на одной высоте на расстоянии $l_0$ друг от друга, а плоскость флага в этот момент перпендикулярна направлению камеры. Диагональ $AC$ в любой момент вертикальна, а флаг не вращается.

C1  ^0.20 Докажите, что изображение отрезка на фотографии будет отрезком или лучом.

C2  ^0.50 При каком соотношении между $l_0$ и $a$ на экране в любой момент времени будут изображены все точки флага, если пренебречь конечностью размеров экрана? Во всех последующих пунктах данной части задачи считайте полученное условие выполненным.

C3  ^1.40 Найдите координаты $(X, Y)$ вершин флага на фотографии в зависимости от времени.

Далее известно, что $l_0 = 3\text{м}$, $v = 1\text{м/с}$.

C4  ^1.20 На рисунке изображена фотография флага в неизвестном масштабе. Определите, в какой момент времени $\tau$ была сделана фотография.

Часть D. Фотография горизонта (3.5 балла)

В данной части задачи мы изучим фотографию горизонта, полученную с помощью горизонтальной камеры-обскуры. Радиус Земли $R = 6378\text{км}$, неровностями поверхности можно пренебречь.

Будем характеризовать положение точки горизонта углами $\varphi$ и $\theta$ (см. рис.).

Для начала перенебрежём влиянием атмосферы.

D1  ^0.10 Чему равен угол $\theta$? Ответ выразите через $R$ и $h$.

D2  ^0.40 Определите координаты $x$, $y$ и $z$ точки горизонта, соответствующей углу $\varphi$. Ответ выразите через $\theta$, $R$, $\varphi$.

D3  ^0.20 Докажите, что координаты $X$, $Y$ связаны с координатами $x$, $y$ и $z$ соотношениями:
$$\cfrac{X}{x} = \cfrac{Y}{y} = \cfrac{L}{z}.$$

D4  ^0.70 Покажите, что изображение горизонта на экране описывается следующим уравнением: $$\cfrac{Y^2}{A^2} - \cfrac{X^2}{B^2} = 1,$$ где $A, B > 0$. Выразите $A$ и $B$ через $L$ и $\theta$. 

Примечание: следующее выражение может оказаться полезным: $$\cfrac{1}{\cos^2\varphi} = 1+\tan^2\varphi.$$

На рисунке приведена часть фотографии горизонта в неизветсном, но одинаковым по осям масштабе.

D5  ^1.00 Определите, с какой высоты $h$ была сделана фотография.

В действительности лучи, попадающие в камеру, распространяются не по прямой. Ход лучей, характеризующих горизонт на фотографии, приведён на рисунке.

Коэффициент преломления воздуха линейно зависит от плотности: $n = 1+\alpha \rho_{air}$. Отличие показатель преломления воздуха у поверхности Земли от единицы составляет $n_0-1 = 2.74\cdot 10^{-4}$. Отличием показателя преломления от единицы на высоте фотографирования можно пренебречь.

D6  ^0.50 Опредлите угол $\theta'$. Ответ выразите через $R$, $n_0$ и $h$.

D7  ^0.60 С учётом малости $n_0-1$ определите, на какую величину $\Delta h$ отличается реальная высота фотографирования от полученной вами в пункте D5. Выразите ответ через $n_0-1$, $R$ и $h$, рассчитайте его численное значение

В дальнейшем влияением атмосферы будем пренебрегать.

Часть E. Фокусировка на горизонт (2.0 балла)

Для анализа границ изображения какого-либо объекта могут понадобиться знания о конических сечениях.
Конус — поверхность, образованная в пространстве множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса).
Частным случаем конуса является прямой круговой конус, его направляющая кривая — окружность, а вершина лежит на оси симметрии этой окружности.
Заметим, что границы изображения предмета в камере-обскуре, образуются касательными к нему лучами проходящими через отверстие камеры. Эти лучи образуют конус. Изображение границ предмета — сечение этого конуса плоскостью экрана.
Особый интерес может представлять случай кругового конуса. В этом случае сечение плоскостью будет кривой второго порядка: эллипс при $90^\circ - \psi > \alpha$, парабола при $90^\circ - \psi = \alpha$, гипербола $90^\circ - \psi < \alpha$.

Теперь рассмотрим фотографирование горизонта с помощью камеры, наведённой на одну из его точек.

При малых высотах камера может снять только некоторую часть горизонта, а при больших его видно полностью.

E1  ^0.30 Определите $h_{cr}$, начиная с которого при подъёме горизонт видно полностью.

Видимая доля горизонта определяется отношением длины дуги горизонта, состоящей из точек, попадающих на фотографию, к длине всей окружности горизонта.

E2  ^1.10 Определите зависимость видимой части горизонта $\eta$ от величины $h/R$. Постройте график этой зависимости.

Примечание: при промежуточных вычислениях может быть полезен угол $\theta$, показанный на рисунке.

E3  ^0.60 Нарисуйте качественные изображения горизонта при $h < h_{cr}$, $h = h_{cr}$ и $h > h_{cr}$. Определите типы кривых, получающихся при фотографировании с разных высот.