Logo
Logo

Горизонты физики

A1  0.20 Пусть сторона квадратного отверстия равна $a = 1\text{м}$. Найдите характерный угловой размер $\beta$ отверстия при взгляде с экрана. Сравните его с угловым размером Солнца.

1 Получено значение $\beta$:
$$\beta = 6^\circ$$
0.10
2 Проведено сравнение с угловыми размерами Солнца:
$$\beta\gg\alpha ~~~ или ~~~ \beta > \alpha$$
0.10
A2  0.20 Пусть теперь сторона квадратного отверстия равна $a = 5\text{мм}$. Найдите характерный угловой размер $\beta$ отверстия при взгляде с экрана. Сравните его с угловым размером Солнца.

1 Получено значение $\beta$:
$$\beta = 0.03^\circ$$
0.10
2 Проведено сравнение с угловыми размерами Солнца:
$$\beta\ll\alpha ~~~ или ~~~ \beta < \alpha$$
0.10
A3  0.30 В листах ответов качественно приведите изображение Солнца при $a = 1~\text{м}$. Укажите размеры, характеризующие это изображение.

1 Указано, что изображение слабо отличается от квадрата 0.10
2 Размер прямой части стороны $a = 1~м$ 0.05
3 Углы квадрата закруглены 0.03
4 Радиус закругления $r = 4.4~см$ 0.02
5 Сделан корректный рисунок (слабо отличается от квадрата) 0.10
A4  0.50 В листах ответов качественно приведите изображение Солнца при $a = 5~мм$. Укажите размеры, характеризующие это изображение.

1 Указано, что изображение слабо отличается от окружности 0.30
2 Диаметр изображения $D = 8.7~см$ 0.10
3 Сделан рисунок (слабо отличается от окружности) 0.10
B1  0.30 Найдите зависимость размера $a$ изображения человека от времени $t$.

1 Из подобия треугольников:
$$\cfrac{a}{h}=\cfrac{L}{l_0+vt}$$
0.20
2 Получен ответ:
$$a=\cfrac{Lh}{l_0+vt}$$
0.10
B2  0.70 На рисунке показаны изображения взрослого человека и Солнца (угловой размер Солнца $\alpha = 0.5^\circ$) в неизвестном масштабе. Оцените, на каком расстоянии был взрослый человек в момент фотографирования.

1 Отношение угловых размеров Солнца и человека равно отношению их размеров на фотографии 0.40
2 Получен ответ:
$$l \approx 90~м$$
0.30
C1  0.20 Докажите, что изображение отрезка на фотографии будет отрезком или лучом.

1 Доказано, что изображение лежит на прямой 0.10
2 Показано или далее используется, в каких случаях изображение является отрезком и лучом 0.10
C2  0.50 При каком соотношении между $l_0$ и $a$ на экране в любой момент времени будут изображены все точки флага, если пренебречь конечностью размеров экрана? Во всех последующих пунктах данной части задачи считайте полученное условие выполненным.

1 Указано, что изображение видно полностью, если весь флаг с одной стороны от передней плоскости камеры 0.20
2 Получен ответ:
$$a<2\sqrt2l_0$$
0.30
3 Потерян $\sqrt2$ -0.20
C3  1.40 Найдите координаты $(X, Y)$ вершин флага на фотографии в зависимости от времени.

1 Координаты выражаются через тангенсы соответствующих углов 0.20
2 Получены верные координаты:
$$X_A = 0 \qquad Y_A = \cfrac{\cfrac{a}{\sqrt2}l_0 L}{{l_0^2+v^2t^2}+\cfrac{a}{\sqrt2}vt}$$
$$X_B = -\cfrac{aL}{\sqrt{2\left(l_0^2+v^2t^2\right)}} \qquad Y_B = 0$$
$$X_C = 0 \qquad Y_C = -\cfrac{\cfrac{a}{\sqrt2}l_0 L}{{l_0^2+v^2t^2}-\cfrac{a}{\sqrt2}vt}$$
$$X_D = \cfrac{aL}{\sqrt{2\left(l_0^2+v^2t^2\right)}} \qquad Y_D = 0$$
8 × 0.15
3 Знаки координат не согласованы или потерян $\sqrt{2}$

Если в предыдущем пункте оценена только одна точка, то штраф не ставится.
-0.20
C4  1.20 На рисунке изображена фотография флага в неизвестном масштабе. Определите, в какой момент времени $\tau$ была сделана фотография.

1 Составлена система уравнений, из которой можно получить ответ 3 × 0.30
2 Получен ответ:
$$\tau = 4~с$$
0.30
D1  0.10 Чему равен угол $\theta$? Ответ выразите через $R$ и $h$.

1 Получен ответ:
$$\theta = \arccos \cfrac{R}{R+h}$$
0.10
D2  0.40 Определите координаты $x$, $y$ и $z$ точки горизонта, соответствующей углу $\varphi$. Ответ выразите через $\theta$, $R$, $\varphi$.

1 Радиус окружности горизонта $r = R\sin\theta$ 0.10
2 Получены правильные координаты:
$$x = R\sin\theta\sin\varphi$$
$$y = -\cfrac{R}{\cos\theta}+R\cos\theta$$
$$z = R\sin\theta\cos\varphi$$
3 × 0.10
D3  0.20 Докажите, что координаты $X$, $Y$ связаны с координатами $x$, $y$ и $z$ соотношениями:
$$\cfrac{X}{x} = \cfrac{Y}{y} = \cfrac{L}{z}.$$

1 Из подобия треугольников получено требуемые соотношения:
\[\cfrac{Y}{y} = \cfrac{L}{z}\hspace{1cm}\cfrac{X}{x} = \cfrac{Y}{y}\]
0.20
D4  0.70 Покажите, что изображение горизонта на экране описывается следующим уравнением: $$\cfrac{Y^2}{A^2} - \cfrac{X^2}{B^2} = 1,$$ где $A, B > 0$. Выразите $A$ и $B$ через $L$ и $\theta$. 

Примечание: следующее выражение может оказаться полезным: $$\cfrac{1}{\cos^2\varphi} = 1+\tan^2\varphi.$$

1 Координата $X$ выражена через $L$ и $\varphi$: 

\[X = L\tan\varphi\]

 

 

0.15
2 Координата $Y$ выражена через $L$, $\varphi$, $\theta$: 

\[Y = -\cfrac{L\tan\theta}{\cos\varphi} \] 

Примечание: Если у $Y$ потерян знак, то этот пункт не оценивается. Далее пункты оцениваются в полный балл.

0.15
3 $Y$ выражен через $X$ и получено требуемое уравнение 0.20
4 Получены значения коэффициентов: $$A = L\tan\theta$$ $$B = L$$

Примечание: В случае ошибки в этом пункте на пункт D5.1 распространяется propagation error.

2 × 0.10
D5  1.00 Определите, с какой высоты $h$ была сделана фотография.

1 Составлена система уравнений, из которой можно получить ответ. 2 × 0.30
2 Получен ответ:
$$h = 100~км$$
0.40
D6  0.50 Опредлите угол $\theta'$. Ответ выразите через $R$, $n_0$ и $h$.

1 Записан инвариант $nr\cos\theta = \operatorname{inv}$ 0.30
2 Получен ответ:
$$\theta' = \arccos\cfrac{n_0R}{R+h}$$
0.20
D7  0.60 С учётом малости $n_0-1$ определите, на какую величину $\Delta h$ отличается реальная высота фотографирования от полученной вами в пункте D5. Выразите ответ через $n_0-1$, $R$ и $h$, рассчитайте его численное значение

1 Указано, что угол измерен по графику и не меняется 0.20
2 Получено уравнение:
$$\cfrac{n_0 R}{R+h+\Delta h}=\cfrac{R}{R+h}$$
0.20
3 Получена формула:
$$\Delta h = \left(R+h\right)\left(n_0-1\right) $$
0.10
4 Получено численное значение:
$$\Delta h = 1.77~км$$
0.10
E1  0.30 Определите $h_{cr}$, начиная с которого при подъёме горизонт видно полностью.

1 Верное условие видимости всего горизонта 0.20
2 Получен ответ:
$$h_{cr} = \left(\sqrt2 - 1\right)R$$
0.10
E2  1.10 Определите зависимость видимой части горизонта $\eta$ от величины $h/R$. Постройте график этой зависимости.

Примечание: при промежуточных вычислениях может быть полезен угол $\theta$, показанный на рисунке.

1 Указано, что при $h\geqslant h_{cr}$ виден весь горизонт, то есть $\eta = 1$ 0.20
2 При $h < h_{cr}$ получено:
$$\eta = 1-\cfrac{\arccos{\left(\tan^2\theta\right)}}{\pi}$$
0.50
3 Ответ выражен через нужные величины:
$$\eta =1-\cfrac{1}{\pi}\arccos\left(\left(1+\cfrac{h}{R}\right)^2-1\right)$$
0.10
4 Правильный вид графика до $h_{cr}$ 0.05
5 Есть участок $\eta=1$ 0.05
6 Правильно указано характерное значение:
$$\eta(0) = \cfrac{1}{2}$$
0.10
7 Правильно указано характерное значение:
$$\eta(\sqrt2-1) = 1$$
0.10
E3  0.60 Нарисуйте качественные изображения горизонта при $h < h_{cr}$, $h = h_{cr}$ и $h > h_{cr}$. Определите типы кривых, получающихся при фотографировании с разных высот.

1 При $h < h_{cr}$ изображение — гипербола.
Есть рисунок гиперболы, проходящей через начало координат.
2 × 0.10
2 При $h = h_{cr}$ изображение — парабола.
Есть рисунок гиперболы, проходящей через начало координат.
2 × 0.10
3 При $h > h_{cr}$ изображение — эллипс.
Есть рисунок эллипса, проходящего через начало координат.
2 × 0.10