Pho.rs: Электронная лампа

Условие

Edu

Данная задача посвящена устройству, называемому электронной лампой. Электронные лампы различны по своей форме и конструкции, однако принцип действия у всех одинаков: в вакуумированой колбе расположены два электрода: катод и анод. Катод нагревается засчёт протекания по нему (или по вблизи расположенному нагревателю) электрического тока, что приводит к термоэлектронной эмиссии – излучению электронов с его поверхности. Между катодом и анодом есть разность потенциалов, приводящая к дальнейшему движению электронов в вакууме.

Кроме катода и анода в объёме лампы могут находится другие элементы (например, так называемые сетки), влияющие на движение электронов в лампе.

Во всех ответах этой задачи кроме указанных в каждом пункте величин вы можете использовать:

магнитную постоянную $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}~Н/А^2$;
электрическую постоянную $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}~Ф/м$;
постоянную Больцмана $k = 1.38\cdot10^{-23}~Дж/К$;
массу электрона $m = 9.1 \cdot 10^{-31}~кг$;
модуль заряда электрона $e = 1.6 \cdot 10^{-19}~Кл$.

Примечание. В задаче потребуется решать уравнение вида

$$\psi''(z) = f(\psi(z)),$$

которое после домножения обеих частей на $\psi'(z)$ и интегрирования преобразуется к виду

$$\int \psi'(z) \psi''(z) dz = \int f(\psi(z)) \psi'(z) dz.$$

Интегрирование даёт

$$\frac{\psi'(z)^2}{2} = \int f(\psi(z)) d\psi(z) + C,$$

где $C$ – константа, определяемая из начальных условий. После вычисления интеграла в правой части уравнения для заданной функции $f$ переменные разделяются.

Часть А. Движение электрона в электромагнитном поле (3.8 балла)

Рассмотрим вакуумный диод – лампу, в объеме которой расположены катод и анод. Пусть катод и анод являются тонкими параллельными пластинами площади $S$. Расстояние между пластинами $h$, причём $h \ll \sqrt{S}$. Нагрев катода осуществляется за счёт вплотную прижатого к нему прямого длинного провода радиуса $r_0$. По проводу течёт однородно распределённый по сечению ток $I$. Направим ось $x$ на рисунке вправо, параллельно пластинам, ось $y$ вверх, перпендикулярно пластинам. За начало координат выберем точку $C$, расположенную над проводом. Ось $z$ направим перпендикулярно рисунку на нас.

Для начала рассмотрим движение первого испускаемого электрона после включения тока, то есть пока в пространстве между электродами нет пространственного заряда. В этом случае электрон движется в электрическом поле катода и анода, а также в магнитном поле, создаваемое током нагревателя. Разность потенциалов катода и анода постоянна и равна $U= \varphi_А - \varphi_К > 0$.

A1 ^0.30 Пусть электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью из точки $C$. Покажите, что в этом случае $x(t) = 0$.

A2 ^0.50 Для описанного случая запишите второй закон Ньютона в проекции на оси $y$, $z$, из них получите выражения для $\ddot{y}$, $\ddot{z}$. В выражениях могут присутствовать $\dot{y}$, $\dot{z}$, $y$, $z$, $U$, $I$, а также геометрические характеристики системы.

A3 ^1.00 Получите дифференциальное уравнение относительно $y$ вида $$\ddot{y} = \alpha - \beta \frac{\ln \left(1+\frac{y}{r_0}\right)}{1+\frac{y}{r_0}},$$ где $\alpha$, $\beta$ – константы. Найдите $\alpha$, $\beta$. В ответе могут присутствовать все введённые ранее величины и константы.

A4 ^0.80 Найдите максимальное значение тока нагревателя $I_{кр}$, при котором рассматриваемый электрон достигает анода.

Рассмотрим другую также часто используемую конфигурацию анода и катода. Пусть катод является металлическим проводом радиуса $r_0$, длины $L$, по которому течёт однородно распределённый ток $I$, протекание тока нагревает провод, что приводит к эмиссии электронов. Анод является поверхностью цилиндра радиуса $R_0$, длины $L$ ($L \gg R_0$). Как и раньше, разность потенциала анода и катода составляет $U= \varphi_А - \varphi_К > 0$.

A5 ^1.20 Пусть электрон начинает движение с нулевой начальной скоростью из точки $C$ в цилиндрической конфигурации лампы. Найдите в этом случае максимальное значение тока нагревателя $I_{кр}$, при котором электрон достигает анода.

Часть B. ВАХ вакуумного диода (4.1 балла)

В установившемся режиме от катода к аноду движутся электроны, создавая ток, зависящий от напряжения $U$, подаваемого на лампу. Наличие электронов в междуэлектродном пространстве приводит к некоторому установившемуся распределению плотности заряда и потенциала в нём.

Данная часть посвящена нахождению ВАХ диода, пространственных распределений потенциала и зарядов.

В действительности в лампах всегда $I \ll I_{кр}$, поэтому в дальнейшем будем рассматривать движение только в электрическом поле. Также в дальнейшем будем пренебрегать начальной скоростью электронов. Это предположение хорошо работает при $kT \ll e U$, где $T$ – температура катода.

Рассмотрим плоскую конфигурацию.

Будем считать, что каждый электрон двигается в среднем потенциале, создаваемом всеми остальными электронами. Пусть $\rho(y)$, $\varphi(y)$ – зависимости плотности заряда и потенциала от координаты $y$. Для определённости будем считать потенциал катода равным нулю ($\varphi(0) = 0$).

B1 ^0.30 Получите дифференциальное уравнение, связывающее $\varphi(y)$ и $\rho(y)$.

B2 ^0.20 Предположим, что $U > 0$. Найдите скорость электрона $v(y)$, эмиттированного с катода, на расстоянии $y$ от катода. Ответ выразите через $\varphi(y)$.

B3 ^0.30 Выразите полный ток $I$, протекающий через сечение $y = \mbox{const}$. Ответ выразите через $\rho(y)$, $v(y)$ и геометрические характеристики системы. Положительным считайте направление тока от анода к катоду.

Будем считать, что электрическое поле непосредственно у катода отсутствует, что даёт ещё одно начальное условие: $\varphi'(0) = 0$.

B4 ^0.40 Получите дифференциальное уравнение на $\varphi(y)$, содержащее функцию $\varphi(y)$ и её производные, а также $I$ и геометрические характеристики системы.

B5 ^0.80 Получите зависимость $\varphi(y)$. Ответ выразите через $I$ и геометрические характеристики системы.

B6 ^0.80 ВАХ лампы при $U > 0$ может быть выражен функцией
$$I(U) = GU^\gamma.$$ Определите коэффициенты $G$, $\gamma$. Ответ выразите через геометрические характеристики системы.

Величина $G$ называется первеансом лампы.

B7 ^0.50 Получите зависимость $\rho(y)$. Ответ выразите через $I$ и геометрические характеристики системы.

B8 ^0.20 Получите ВАХ лампы $I(U)$ при $U < 0$.

Рассмотрим цилиндрическую конфигурацию.

Обозначим $r$ – расстояние от оси провода до электрона. Распределение потенциала в такой системе является функцией только $r$.

B9 ^0.60 Получите дифференциальное уравнение на $\varphi(r)$, содержащее функцию $\varphi(r)$ и её производные, а также полный ток в лампе $I$ и геометрические характеристики системы.

Полученное уравнение не решается аналитически, однако можно показать, что для цилиндрической конфигурации ВАХ имеет тот же вид с тем же показателем степени $\gamma$.

Степенной вид ВАХ предсказывает неограниченное возрастание $I$ с увеличением $U$. В действительности этого не происходит, так как ток $I$ ограничен скоростью эмиссии электронов с катода. При больших напряжениях ток равен току насыщения $I_{нас}$. Характерная эмпирическая зависимость тока лампы от напряжения представлена на графике.

Часть C. Триод и генератор Ван-дер-Поля (2.1 балла)

Пусть теперь в пространство между пластин параллельно им внесена проводящая сетка, имеющая потенциал $\varphi_С$. Напряжение $U_С = \varphi_С - \varphi_К$ называется сеточным, $U_А = \varphi_А - \varphi_К$ анодным. Такая система называется триодом. Мы будем считать сетку достаточно крупной, так что все электроны, движущиеся в пространстве лампы, проходят сквозь неё, т. е. с сетки ток не стекает. Наличие сетки изменяет распределение потенциала в пространстве и таким образом позволяет управлять током электронов. Ток, текущий между анодом и катодом $I_А$, зависит как от $U_C$, так и от $U_А$. Зависимости $I_А$ от $U_С$ при $U_А = \mbox{const}$. для разных значений $U_А$ представлены на рисунке ниже.

Зависимости $I_А(U_С)$ при различных фиксированных $U_А$

Теперь рассмотрим электрическую схему с триодом, называемую генератором Ван-дер-Поля. Такой генератор позволяет возбуждать периодические колебания при наличии только источника постоянного тока. Рассмотрим подробнее механизм возбуждения колебаний.

Необходимые обозначения элементов, токов и напряжений обозначены на рисунке.

В отсутствие напряжения на конденсаторе, которое, как видно на схеме, совпадает с сеточным напряжением $U_С$, можно так подобрать анодное напряжение $U_А$, чтобы зависимость $I_А(U_С)$ при $U_А = \mbox{const}$. вблизи $U_С = 0$ была представима в виде

$$I_А(U_С) \simeq I_0 + \lambda U_С - \mu U_С^3, \tag{1}$$

где $\lambda$, $\mu$ – положительные константы.

Сделаем следующие приближения:

Для рассматриваемых далее значений $U_С$ формула $(1)$ выполнена в точности.
Будем считать ЭДС, наводимую катушкой $L$ в катушке $L_А$, пренебрежимо малой по сравнению с напряжением анода, поэтому анодное напряжение $U_А$ остаётся константой, совпадающей с напряжением батарейки.
Катушка $L_A$, создает в катушке $L$ ЭДС индукции
$$\mathcal{E} = M \frac{dI_А}{dt},$$ где $M$ – коэффициент взаимной индукции катушек. Знак $M$ зависит от взаимной ориентации катушек, а также от выбранного направления обхода RLC-контура. В связи с этим далее неважны знаки $\mathcal{E}$ и $M$, вы можете выбрать их произвольно.

C1 ^0.90 Закон Кирхгофа для RLC-контура приводит к дифференциальному уравнению вида $$\ddot{U}_С + \zeta(1+\eta U_С^2)\dot{U}_С+\chi U_С = 0.$$ Выразите $\zeta$, $\eta$, $\chi$ через $R$, $L$, $C$, $M$, $\lambda$, $\mu$.

Пусть в начальный момент $U_С = 0$. Оказывается, при некотором соотношении параметров схемы возможна автоматическая раскачка колебаний (увеличение амплитуды со временем) с последующим постепенным приближением к периодическому режиму при сколь угодно малом отклонении $U_С$ от нуля.

C2 ^1.20 Пусть $U_С$ отклоняется от нуля на малую величину. Получите условие на параметры $\zeta$, $\eta$, $\chi$, при котором происходит раскачка колебаний. Выразите также полученное условие в терминах $R$, $L$, $C$, $M$, $\lambda$, $\mu$.