| 1 Указано, что сразу после начала движения электрон приобретает скорость параллельно $Oy$ | 0.10 |
|
| 2 Указано, что проекция магнитной силы на $Ox$ сразу после начала движения равна нулю | 0.10 |
|
| 3 Сделан вывод $x(t) = \mbox{const}$ | 0.10 |
|
|
1
Получено электрическое поле $E_y$ $$E_y = -\frac{U}{h}$$ |
0.05 |
|
|
2
Получено магнитное поле провода $B_x$ $$B_x = -\frac{\mu_0 I}{2 \pi (y+r_0)}$$ |
0.10 |
|
|
3
Записан 2-й закон Ньютона в проекции на $Oy$ $$\ddot{y} = \frac{e U}{m h} + \frac{\mu_0 e I}{2\pi m (y+r_0)}\dot{z}$$ |
0.20 |
|
| 4 В уравнении есть неверный знак | -0.10 |
|
|
5
Записан 2-й закон Ньютона в проекции на $Oz$ $$\ddot{z} = -\frac{\mu_0 e I}{2 \pi m (y+r_0)}\dot{y}$$ |
0.15 |
|
| 6 В уравнении есть неверный знак | -0.10 |
|
|
1
Из второго уравнения получено дифференциальное уравнение $$d\dot{z} = -\frac{\mu_0 e I}{2 \pi m (y+r_0)} dy$$ |
0.20 |
|
|
2
Уравнение решено с учётом начальных условий $$\dot{z} = -\frac{\mu_0 e I}{2 \pi m} \, \ln\left(1+\frac{y}{r_0}\right)$$ |
0.30 |
|
| 3 Выражение для $\dot{z}$ подставлено в первое уравнение | 0.10 |
|
|
4
Получен ответ для $\alpha$ $$\alpha = \frac{e U}{m h}$$ |
0.20 |
|
|
5
Получен ответ для $\beta$ $$\beta = \frac{1}{r_0} \left(\frac{\mu_0 e I}{2 \pi m}\right)^2$$ |
0.20 |
|
|
1
Уравнение относительно $y$ домножено на $\dot{y}$ и приведено к виду $$\frac{\dot{y}^2}{2} = \alpha y - \beta \int \frac{\ln \left(1+\frac{y}{r_0}\right)}{1+\frac{y}{r_0}} dy$$ |
0.10 |
|
|
2
Правильно взят интеграл $$\int \frac{\ln \left(1+\frac{y}{r_0}\right)}{1+\frac{y}{r_0}} dy = \frac{r_0}{2}\ln^2\left(1 + \frac{y}{r_0}\right) + C$$ |
0.25 |
|
|
3
Записано критическое условие достижения анода электроном $$\dot{y}(h) = 0$$ |
0.15 |
|
|
4
Получено уравнение на $I_{кр}$ $$\frac{U e}{m} - \frac{1}{2} \left(\frac{\mu_0 e I_{кр}}{2 \pi m} \right)^2 \ln^2 \left(1 + \frac{h}{r_0}\right) = 0$$ |
0.10 |
|
|
5
Получен ответ для $I_{кр}$ $$I_{кр} = \sqrt{\frac{8 U m}{e}} \frac{\pi}{\mu_0} \frac{1}{\ln\left(1+\frac{h}{r_0}\right)}$$ |
0.20 |
|
| 1 M1 Указано или используется, что $x(t) = 0$ | 0.10 |
|
|
2
M1
Получено электрическое поле $E_r$ $$E_r(r) = -\frac{U}{r \ln\left(\frac{R_0}{r_0}\right)}$$ |
0.20 |
|
| 3 M1 Аналогично А2 записан второй закон Ньютона в проекции на оси $Oy$, $Oz$ | 0.15 |
|
|
4
M1
Аналогично А3 получено дифференциальное уравнение на $r$ $$\ddot{r} = \frac{Ue}{m \ln\left(\frac{R_0}{r_0}\right)} \frac{1}{r} - \left(\frac{\mu_0 e I}{2 \pi m} \right)^2 \cdot \frac{\ln \left(\frac{r}{r_0}\right)}{r}$$ |
0.15 |
|
|
5
M1
Правильно взят интеграл $$\int \frac{\ln \left(\frac{r}{r_0}\right)}{r} dr = \frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{r}{r_0}\right) + C$$ |
0.10 |
|
|
6
M1
Получено уравнение на $I_{кр}$ $$\frac{e U}{m} - \frac{1}{2} \left(\frac{\mu_0 e I_{кр}}{2 \pi m} \right)^2 \ln^2 \left(\frac{R_0}{r_0}\right)$$ |
0.20 |
|
| 7 M2 Указано, что ответ для $I_{кр}$ зависит только от $\int E_y(y) dy = U$. | 0.90 |
|
|
8
Получен ответ для $I_{кр}$ $$I_{кр} = \sqrt{\frac{8 U m}{e}} \frac{\pi}{\mu_0} \frac{1}{\ln\left(\frac{R_0}{r_0}\right)}$$ |
0.30 |
|
| 1 Записана теорема Гаусса в интегральной или дифференциальной форме | 0.10 |
|
|
2
Записана связь поля и потенцала $$E_y = -\varphi'(y)$$ |
0.10 |
|
|
3
Получено уравнение $$\varphi''(y) = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ |
0.10 |
|
|
1
Записан ЗСЭ $$\frac{mv(y)^2}{2} = e\varphi(y)$$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ $$v(y) = \sqrt{\frac{2 e \varphi(y)}{m}}$$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ $$I = -\rho(y) v(y) S$$ |
0.30 |
|
|
2
Неверный знак
Далее засчитываются пункты, в которых у $I$ неверный знак. |
-0.10 |
|
|
1
Получено уравнение $$\varphi''(y) = \frac{I}{\varepsilon_0 S}\sqrt{\frac{m}{2e\varphi(y)}}$$ |
0.40 |
|
|
1
Получено уравнение $$(\varphi'(y))^2 = \dfrac{I}{\varepsilon_0S}\sqrt{\dfrac{8m}{e}} \sqrt{\varphi}$$ |
0.20 |
|
|
2
Разделены переменные, и получено $$\varphi^{-1/4}d\varphi = \left(\dfrac{I}{\varepsilon_0S}\right)^{1/2}\left(\dfrac{8m}{e}\right)^{1/4}dy$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ $$\varphi(y) =\left(\dfrac{3y}{4}\right) ^{4/3} \left(\dfrac{I}{\varepsilon_0S}\right)^{2/3}\left(\dfrac{8m}{e}\right)^{1/3}$$ |
0.40 |
|
Величина $G$ называется первеансом лампы.
|
1
Указана или используется связь $U$ и $\varphi(y)$ $$U = \varphi(h)$$ |
0.20 |
|
|
2
Получен ответ $$\gamma = \frac{3}{2}$$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ $$G = \varepsilon_0 S \left(\dfrac{4}{3h}\right)^{2}\left(\dfrac{e}{8m}\right)^{1/2}$$ |
0.40 |
|
|
1
$\rho(y)$ выражено через $\varphi(y)$ $$\rho(y) = -\varepsilon_0 \varphi''(y) \qquad либо \qquad \rho(y) = -\frac{I}{S} \sqrt{\frac{m}{2e\varphi(y)}}$$ |
0.20 |
|
|
2
Получена зависимость $$\rho(y) =- \left(\dfrac{I}{3S}\right)^{2/3}\left(\dfrac{2m\varepsilon_0}{e}\right)^{1/3}\cdot y^{-2/3}$$ |
0.30 |
|
|
1
Получено $$I(U) = 0$$ |
0.20 |
|
| 1 Записана теорема Гаусса в случае цилиндрической симметрии | 0.20 |
|
|
2
Используется связь поля и потенциала $$E_r = -\varphi'(r)$$ |
0.10 |
|
|
3
Получено уравнение $$r\varphi''(r)+\varphi'(r) = \frac{I}{2\pi L \varepsilon_0} \sqrt{\frac{m}{2 e \varphi(r)}}$$ |
0.30 |
|
|
1
Выражен ток в RLC-контуре через $U_С$ $$I = C\dot{U}_C$$ |
0.05 |
|
|
2
Записан закон Кирхгофа для RLC-контура (с точностью до знака перед $M$) $$M \frac{dI_А}{dt} = U_С + RC\dot{U}_С + LC \ddot{U}_С$$ |
0.20 |
|
|
3
Получено выражение для $\frac{dI_А}{dt}$ $$\frac{dI_А}{dt} = \left(\lambda - 3\mu U_С^2\right)\dot{U}_С$$ |
0.10 |
|
|
4
Уравнение на $U_С$ приведено к виду $$\ddot{U}_С + \left(\frac{R}{L} - \frac{\lambda M}{LC} +\frac{3\mu M}{LC}U_С^2 \right) \dot{U}_С + \frac{U_С}{LC} = 0$$ |
0.10 |
|
|
5
Получены ответы для $\zeta$, $\eta$, $\chi$ $$\zeta = \frac{R}{L} - \frac{\lambda M}{LC} \\ \ \\ \eta = \frac{3\mu M}{RC - \lambda M} \\ \ \\\chi = \frac{1}{LC}$$ |
3 × 0.15 |
|
| 1 Сделано пренебрежение членом $\sim U_С^2$ в дифференциальном уравнении | 0.30 |
|
| 2 Обосновано, что для раскачки колебаний коэффициент перед $\dot{U}_С$ должен быть отрицателен | 0.50 |
|
|
3
Получен ответ $$\zeta < 0$$ |
0.20 |
|
|
4
Получен ответ $$RC < \lambda M$$ |
0.20 |
|