A1  ^?? Изучая зависимость температуры от времени при остывании, определите коэффициент теплопотерь $\alpha$ для металлической линейки в воздухе. Зарисуйте схему установки, приведите её параметры и расчетные формулы.

Опустим на некоторое время линейку в мерный цилиндр, заполненный кипятком. Нагревшуюся линейку подвесим за нить к штативу. Чувствительный элемент термометра прикрепим к линейке аналогом пластилина, промазав место контакта термопастой. Снимем зависимость температуры линейки от времени.
Остывание описывается следующей зависимостью:
$$T(t)=T_{0}+\left(T_{\max }-T_{0}\right) e^{-\beta t}, \quad \beta=\frac{2 \alpha L W}{cm} \tag{7}$$Строим график зависимости $\ln \left(T-T_{0}\right)$ от $t$. По коэффициенту наклона находим $\beta$, а затем и

B1  ^?? В качестве нагреваемого стержня будем использовать линейку. Соберите установку, которая позволит нагревать линейку с одного конца. Изучая зависимость температуры от координаты при остывании, определите отношение коэффициентов $\left({\alpha}/{\lambda}\right)$ с погрешностью. Зарисуйте схему установки, приведите её параметры и расчетные формулы.

Греем линейку с одного конца резисторами, снимаем зависимость установившейся температуры от координаты.

Строим график $\ln \left(T-T_{0}\right)$ от $x$.

Коэффициент наклона $$b^{2}=\frac{2 \alpha(W+H)}{\lambda W H} \approx \frac{2 \alpha}{\lambda H} \tag{8}$$ Получаем следующее отношение коэффициентов$$\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)_{B}=\frac{b^{2} H}{2}=0.38~м^{-1} \tag{9}$$

B2  ^?? С использованием результата пункта A1 определите коэффициент теплопроводности $\lambda$ и его погрешность.

Коэффициент теплопроводности
$$\lambda=\dfrac{\alpha}{{\alpha}/{\lambda}}=44~\dfrac{Вт}{м\cdot{}^\circ\mathrm C} \tag{10}$$

C1  ^?? Запишите уравнение теплового баланса для рассматриваемого куска стержня. Ответ выразите через обозначенные выше теплоты и температуру. Также вам известны: температура окружающей среды $T_{0}$, коэффициент теплопотерь $\alpha$, периметр сечения стержня $P$, длина кусочка $\mathrm d x$.

$$q(x)-q(x+\mathrm d x)-\alpha P \,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right)=0 \tag{11}$$

C2  ^?? Из уравнения теплового баланса можно получить дифференциальное уравнение для температуры, в таком уравнении неизвестными являются функция $T(x)$ и её производные. Получите такое уравнение, для этого воспользуйтесь разложением $q(x+\mathrm d x) \approx q(x)+q{'}(x)\,\mathrm d x$ и выражением
$$q(x)=-\lambda S T{'}(x) \tag{5}$$где $\lambda$ – коэффициент теплопроводности, $S$ – площадь поперечного сечения.

$$\lambda S T^{\prime \prime}(x)=\alpha P\,\mathrm d x\cdot\left(T(x)-T_{0}\right) \tag{12}$$

C3  ^?? Решение полученного уравнения записывается в виде
$$T(x)=C_{1}+C_{2} e^{-k x}+C_{3} e^{k x} \tag{6}$$где $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ – некоторые константы, которые можно найти из граничных условий и здравого смысла, а величину $k$ можно определить, подставив $T(x)$ в дифференциальное уравнение, полученное в предыдущем пункте. Нагреватель находится в точке с координатой $0$, температура стержня в этой точке $T(0)=T_{\max }$. Определите значения констант $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $k$.

На бесконечности температура не бесконечная, а стремится к нулю:
$$C_{3}=0 \tag{13}$$

Подставим решение в общем виде в уравнение, полученное равенство должно быть верным при любом $x$. Найдем коэффициенты:
$$C_{1}=T_{0}, \quad C_{2}=T_{H}-T_{0}, \quad k^{2}=b^{2}=\frac{\alpha P}{\lambda S} \tag{14}$$