Чтобы найти силу, с которой однородное магнитное поле воздействует на проводник $MN$ с током, имеющий сложную форму, возьмём маленький участок проводника длины $dl$. Сила, действующая на него, равна $dF=IB\,dl$ и направлена перпендикулярно (см. рис.). Проекции этой силы на оси координат равны $$dF_x=IB\,dl\cos\alpha=IBdy,$$ $$dF_y=-IB\,dl\sin\alpha=-IBdx.$$Таким образом, суммируя по всем участкам проводника, получим, что
$$F_x=IB(y_N-y_M),\qquad F_y=-IB(x_N-x_M),$$ где $(x_M;y_M)$ и $(x_N;y_N)$ — координаты точек $M$ и $N$ соответственно.

Пусть $T_A$ — сила натяжения нити в верхней точке, а $\rho=m/L$ — линейная плотность нити. Рассмотрим правую половину нити и запишем условия равновесия для сил в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
$$\left\{ \begin{array}{l} T_A\cos 30^\circ=mg/2, \\ T_A\sin 30^\circ+T_D=IBH \end{array} \right.
$$ Отсюда найдём
$$
\quad \left\{ \begin{array}{l} T_A=mg/\sqrt{3}, \\ T_A/2+T_D=IBL\cdot \sqrt{3}/4 \end{array} \right.
$$ Применяя метод виртуальных перемещений, получим
$$T_A-T_D=\rho gH=\frac{mgH}{L}=\frac{mg\sqrt{3}}{4}.
$$ Отсюда следует, что
$$T_A-T_D=\frac{3T_A}{4} \quad\Rightarrow\quad T_A=4T_D \quad\Rightarrow\quad T_D=\frac{IBL}{4\sqrt{3}},$$ $$mg=\sqrt{3}T_A=4\sqrt{3}T_D=IBL \quad\Rightarrow\quad m=\frac{IBL}{g}.$$

Рассмотрим участок нити $CD$ и запишем условие равновесия для сил в проекции на горизонтальную ось:
$$T_D=IBh,$$ где $h$ — высота точки $C$ относительно точки $D$, равная, соответственно,
$$h=\frac{T_D}{IB}=\frac{L}{4\sqrt{3}}.
$$ С другой стороны, применяя метод виртуальных перемещений, получим
$$T_C-T_D=\rho gh \quad\Rightarrow\quad T_C-T_D=\frac{\rho g}{IB}\cdot T_D=\frac{m g}{IBL}\cdot T_D=T_D \quad\Rightarrow\quad \\T_C=2T_D=\frac{IBL}{2\sqrt{3}}.$$

Пусть $K$ — некоторая точка, находящаяся на высоте $y$ относительно точки $D$ и смещённая относительно неё на $x$ вправо. Обозначим $T$ силу натяжения нити в точке $K$, $\varphi$ — угол между касательной в точке $K$ и горизонталью, а $l$ — длину участка $KD$. Тогда
$$T\sin\varphi =\rho g l+IBx=IB(l+x),$$ $$T\cos\varphi =T_D-IBy,$$ $$T=T_D+\rho g y=T_D+IBy.$$ Дифференцируя первое уравнение и учитывая, что $dl=dx/\cos\varphi=dy/\sin\varphi$, получим
$$d(T\sin\varphi)=IB(dl+dx)=IBdy \cdot \frac{1+\cos\varphi}{\sin\varphi}.$$ С другой стороны, $$T(1+\cos\varphi)=2T_D,$$ откуда имеем
$$T\sin\varphi\cdot d(T\sin\varphi)=2T_D\cdot IBdy \quad \Rightarrow\quad \frac{(T\sin\varphi)^2}{2}=2T_D\cdot IBy \quad \Rightarrow$$ $$T\sin\varphi=2IB\sqrt{hy}.$$ Учитывая, что $\mbox{tg}\,\varphi=dy/dx$, окончательно получим значение $d$:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2IB\sqrt{hy}}{IB(h-y)} \quad \Rightarrow\quad \frac{d}{2}=\frac{1}{\sqrt{h}}\int\limits_0^h\frac{h-y}{2\sqrt{y}}\cdot dy=h-\frac13 h=\frac23 h \quad \Rightarrow$$ $$ d=\frac{4h}{3}=\frac{L}{3\sqrt{3}}.$$