В данной задаче рассматриваются некоторые теоретические вопросы, связанные с распространением электрического тока по длинному проводящему кабелю с неидеальной изоляцией.

Часть A

На рисунке показана электрическая цепь, состоящая из идеального источника постоянного напряжения $U_{0}$ и семи резисторов. Сопротивление амперметра пренебрежимо мало.

A1  ^1.50 Рассчитайте значения сил токов через все резисторы, считая силу тока $I_{3}$ через амперметр известной. Используйте обозначения сил токов, приведенные на рисунке. 

Примечание. Расчет таких цепей удобно начинать с крайних элементов. Чтобы облегчить ваши расчеты, в листах ответов приведена таблица. Заполнять эту таблицу следует слева направо и сверху вниз. Пунктиром выделены участки цепи, сопротивления которых обозначены $R_{x 3}$, $R_{x 2}$, $R_{x 1}$, $R_{x 0}$ ($R_{x 0}$ – сопротивление всей цепи). Удобно каждое следующее из этих сопротивлений выражать через предыдущее. 

Приведите в таблице формулы для расчета этих сопротивлений и рассчитайте их значения, выраженные через величину $R$. Все коэффициенты должны быть записаны в виде обыкновенных дробей. Запишите в соответствующих ячейках таблицы расчетные формулы для сил токов и их значения, выраженные через $I_{3}$.

A2  ^0.40 Выразите значения сил токов $I_{0}$ и $I_{3}$ через напряжение источника $U_{0}$ и сопротивление $R$.

A3  ^0.40 Рассчитайте численные значения отношений сил токов $\dfrac{I_{1}}{I_{0}}$ и $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$.

Часть B

В цепи, показанной на рисунке сопротивления $R_{1}=1.0~Ом$, а сопротивления $R_{2}=1.0~ кОм$. Напряжение источника $U_{0}=7.0 ~В$. Амперметры идеальные.

B1  ^0.20 Рассчитайте значения сил токов $I_{0}$ и $I_{1}$.

B2  ^0.80 Рассчитайте разность сил токов $\Delta I=\left(I_{0}-I_{1}\right)$.
Подсказка. Нет необходимости решать пункты $В1$ и $В2$ абсолютно точно. Сделайте приближённый расчёт, сохранив разумное число значащих цифр в ответе.

Часть C

Бесконечная цепочка, состоящая из одинаковых звеньев, подключена к идеальному источнику с напряжением $U_0$.

Пусть в бесконечной цепочке сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{0}$, $R_{2}=2 R_{0}$.

C1  ^0.60 Найдите полное сопротивление цепи.

C2  ^0.80 Покажите, что силы токов $I_{0},I_{1},I_{2}, \ldots$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите отношение сил токов $\dfrac{I_{1}}{I_{0}}$.

C3  ^0.80 Получите формулу, позволяющую рассчитать значения всех сил токов $I_{k}$ ($k=0,1,2, \ldots$) через заданные значения $U_{0}$ и $R_{0}$.
Подсказка. Если от бесконечности отнять единицу, то получится та же бесконечность.

Пусть в бесконечной цепочке, показанной на рисунке, сопротивления $R_{2}$ в несколько тысяч раз больше сопротивлений $R_{1}$, что позволяет делать разумные приближения при расчетах.

C4  ^0.40 Получите формулу для общего сопротивления всей цепочки, при условие $R_{2}\gg R_{1}$.

C5  ^0.40 Получите формулу для расчета силы тока в произвольном звене $I_{k}$ ($k=0,1,2, \ldots$) через заданные значения $U_{0}$, $R_{1}$, $R_{2}$.

Часть D

Телеграфный кабель имеет достаточно сложную структуру (см. рисунок): медная жила, резиновая изоляция, броневая защита.

Для расчетов существенно:

• диаметр медной жилы $d_{0}=20~мм$ (удельное сопротивление меди $\rho_{1}=1.7 \cdot 10^{-8} ~{Ом} \cdot {м}$);
• толщина слоя резиновой изоляции $h=10~мм$ (удельное сопротивление резины считайте равным $\rho_{2}=1.7 \cdot 10^{10}~ Ом \cdot м$).
• длина кабеля $L=5000 ~км$.

Кабель проложен по дну Атлантического океана, поэтому можно считать, что внешний слой изоляции контактирует с хорошо проводящей электрический ток морской водой. Несмотря на высокое удельное сопротивление изоляции, электрический ток частично проходит через изоляционный слой и уходит в океанскую воду. Потенциал воды снаружи изоляции равен нулю.

D1  ^0.50 Рассчитайте электрическое сопротивление $R_{1}$ десяти километров ($\Delta l=10 ~км$) медной жилы кабеля. Рассчитайте полное сопротивление медной жилы кабеля.

D2  ^0.50 Рассчитайте (приближенно, но с хорошей точностью) электрическое сопротивление $R_{2}$ десяти километров изоляции кабеля. Рассчитайте полное сопротивление изоляции. Учтите направление тока в изоляции.

D3  ^0.80 Предложите приближенную эквивалентную электрическую схему подводного телеграфного кабеля, описывающую протекание электрических токов в кабеле.

D4  ^0.40 Рассчитайте отношение силы тока на выходе из кабеля $I_{1}$ к силе тока на его входе $I_{0}$.