Pho.rs: Глубоководный кабель

A1 ^1.50 Рассчитайте значения сил токов через все резисторы, считая силу тока $I_{3}$ через амперметр известной. Используйте обозначения сил токов, приведенные на рисунке.

Примечание. Расчет таких цепей удобно начинать с крайних элементов. Чтобы облегчить ваши расчеты, в листах ответов приведена таблица. Заполнять эту таблицу следует слева направо и сверху вниз. Пунктиром выделены участки цепи, сопротивления которых обозначены $R_{x 3}$, $R_{x 2}$, $R_{x 1}$, $R_{x 0}$ ($R_{x 0}$ – сопротивление всей цепи). Удобно каждое следующее из этих сопротивлений выражать через предыдущее.

Приведите в таблице формулы для расчета этих сопротивлений и рассчитайте их значения, выраженные через величину $R$. Все коэффициенты должны быть записаны в виде обыкновенных дробей. Запишите в соответствующих ячейках таблицы расчетные формулы для сил токов и их значения, выраженные через $I_{3}$.

1

Сопротивление	Силы токов
$R_{x 3}=R$	$I_{3}^{'}=I_{3} \frac{R_{x3}}{2 R}=\frac{1}{2} I_{3}$	$I_{2}=I_{3}+I_{3}^{'}=\frac{3}{2} I_{3}$
$R_{x 2}=R+\frac{2 R \cdot R_{x 3}}{2 R+R_{x 3}}=\frac{5}{3} R$	$I_{2}^{'}=I_{2} \frac{R_{x 2}}{2 R}=\frac{5}{4} I_{3}$	$I_{1}=I_{2}+I_{2}^{'}=\frac{11}{4} I_{3}$
$R_{x 1}=R+\frac{2 R \cdot R_{x 2}}{2 R+R_{x 2}}=\frac{21}{11} R$	$I_{1}^{'}=I_{1} \frac{R_{x 1}}{2 R}=\frac{21}{8} I_{3}$	$I_{0}=I_{1}+I_{1}^{\prime}=\frac{43}{8} I_{3}$
$R_{x 0}=R+\frac{2 R \cdot R_{x 1}}{2 R+R_{x 1}}=\frac{85}{43} R$	$-$	$-$

10 × 0.15

A2 ^0.40 Выразите значения сил токов $I_{0}$ и $I_{3}$ через напряжение источника $U_{0}$ и сопротивление $R$.

1 $I_0=\frac{43}{85} \frac{U_{0}}{R}$, $I_3=\frac{8}{43} I_{0}=\frac{8}{85} \frac{U_{0}}{R}$

2 × 0.20

A3 ^0.40 Рассчитайте численные значения отношений сил токов $\dfrac{I_{1}}{I_{0}}$ и $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$.

1 $\frac{I_{1}}{I_{0}} \approx 0.51$, $\frac{I_{2}}{I_{1}}\approx 0.55$

2 × 0.20

B1 ^0.20 Рассчитайте значения сил токов $I_{0}$ и $I_{1}$.

1 Явно указано, что с данной в задаче точностью токами через резисторы $R_2$ можно пренебречь	0.10
3 $I_{0} \approx I_{1}=\frac{U_{0}}{7 R_{1}}=1.0~А$ Примечание: если в ответе приведено 3 и более значащих цифры, баллы не ставятся	0.10

B2 ^0.80 Рассчитайте разность сил токов $\Delta I=\left(I_{0}-I_{1}\right)$.
Подсказка. Нет необходимости решать пункты $В1$ и $В2$ абсолютно точно. Сделайте приближённый расчёт, сохранив разумное число значащих цифр в ответе.

1 Явно указано, что разность сил токов равна сумме токов через резисторы $R_2$	0.20
2 Ток через $k$-тый резистор $I'_k=\dfrac{U_0}{7R_2}(7-k)$	0.30
3 Ответ $\Delta I=\dfrac{3U_0}{R_2}=21~мА$	0.30

C1 ^0.60 Найдите полное сопротивление цепи.

1 Сопротивление полной цепи выражено через сопротивления резисторов одной ячейки и само себя	0.10
2 Получено квадратное уравнение $R_{x}^{2}-R_{x} R_{1}-R_{1} R_{2}=0$	0.20
3 Решено квадратное уравнение $R_{x}=\dfrac{R_{1}\pm\sqrt{R_{1}^{2}+4 R_{1} R_{2}}}{2}$	0.10
4 Выбран знак $+$ из физических соображений	0.10
5 Ответ $R_x=2R_0$	0.10

C2 ^0.80 Покажите, что силы токов $I_{0},I_{1},I_{2}, \ldots$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите отношение сил токов $\dfrac{I_{1}}{I_{0}}$.

1 Записаны законы Кирхгофа для токов в $k$-том узле цепи: $ I_{k-1}=I_{k}+I_{k}^{'}$, $I_{k} R_{x}=I_{k}^{'} R_{2}$	2 × 0.20
2 Рекуррентное уравнение $I_k=\dfrac{I_{k-1}}{1+R_x/R_2}$	0.20
3 Отношение токов $I_1/I_0=1/2$	0.20

C3 ^0.80 Получите формулу, позволяющую рассчитать значения всех сил токов $I_{k}$ ($k=0,1,2, \ldots$) через заданные значения $U_{0}$ и $R_{0}$.
Подсказка. Если от бесконечности отнять единицу, то получится та же бесконечность.

1 Ток $I_0=\dfrac{U_0}{R_x}$	0.20
2 Решение геометрической прогрессии $I_k=\left(1+\dfrac{R_x}{R_2}\right)^{-k}I_0$	0.30
3 Ответ $I_k=\dfrac{U_0}{2R_0}\cdot 2^{-k}$	0.30

C4 ^0.40 Получите формулу для общего сопротивления всей цепочки, при условие $R_{2}\gg R_{1}$.

1 Ответ $R_x=\sqrt{R_1R_2}$

Примечание: если ответ приведён без приближения, баллы за пункт не ставятся

0.40

C5 ^0.40 Получите формулу для расчета силы тока в произвольном звене $I_{k}$ ($k=0,1,2, \ldots$) через заданные значения $U_{0}$, $R_{1}$, $R_{2}$.

1 $I_{k}=\dfrac{U_{0}}{\sqrt{R_{1} R_{2}}}\left(1-\sqrt{\dfrac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{k}
$

0.40

D1 ^0.50 Рассчитайте электрическое сопротивление $R_{1}$ десяти километров ($\Delta l=10 ~км$) медной жилы кабеля. Рассчитайте полное сопротивление медной жилы кабеля.

1 Формула $R=\rho\dfrac{4l}{\pi d_0^2}$	0.10
2 Числа $R_1=0.54~Ом$, $R_{1\Sigma}=270~Ом$	2 × 0.20

D2 ^0.50 Рассчитайте (приближенно, но с хорошей точностью) электрическое сопротивление $R_{2}$ десяти километров изоляции кабеля. Рассчитайте полное сопротивление изоляции. Учтите направление тока в изоляции.

1 Любое разумное приближение для расчёта сопротивления изоляции (полусумма площадей сечения, половинный радиус и т.д., честный расчёт). Если использовано плохое приближение (граничные значения площади), баллы за этот пункт и дальнейшие численные ответы не ставятся	0.20
2 Числа $R_{2}=1.1 \cdot 10^{5}~Ом$, $R_{2\Sigma}=2.2\cdot10^3~Ом$	2 × 0.15

D3 ^0.80 Предложите приближенную эквивалентную электрическую схему подводного телеграфного кабеля, описывающую протекание электрических токов в кабеле.

1 Идея разбиения кабеля на ячейки	0.10
2 Сопротивления резисторов в ячейке $R_1$ и $R_2$	2 × 0.10
3 Нарисована требуемая схема	0.50

D4 ^0.40 Рассчитайте отношение силы тока на выходе из кабеля $I_{1}$ к силе тока на его входе $I_{0}$.

1 Формула $I_1/I_0=\left(1-\sqrt{R_1/R_2}\right)^{500}$	0.20
2 Число $I_1/I_0=0.43$	0.20

Глубоководный кабель

Разбалловка