Примечание. Расчет таких цепей удобно начинать с крайних элементов. Чтобы облегчить ваши расчеты, в листах ответов приведена таблица. Заполнять эту таблицу следует слева направо и сверху вниз. Пунктиром выделены участки цепи, сопротивления которых обозначены $R_{x 3}$, $R_{x 2}$, $R_{x 1}$, $R_{x 0}$ ($R_{x 0}$ – сопротивление всей цепи). Удобно каждое следующее из этих сопротивлений выражать через предыдущее. 

Приведите в таблице формулы для расчета этих сопротивлений и рассчитайте их значения, выраженные через величину $R$. Все коэффициенты должны быть записаны в виде обыкновенных дробей. Запишите в соответствующих ячейках таблицы расчетные формулы для сил токов и их значения, выраженные через $I_{3}$.

Расчет характеристик приведенной цепи традиционен и основан на законах параллельного и последовательного соединения проводников. Результаты расчетов приведены в Таблице 1.

Сила тока $I_{0}$ определяется по закону Ома (сопротивление всей цепи есть $R_{x 0}$):
$$I_{0}=\frac{U_{0}}{R_{x 0}}=\frac{43}{85} \frac{U_{0}}{R}\tag{1}$$В Таблице получена связь между токами, из которой следует

В условии исходные данные заданы с двумя значащими цифрами, поэтому с такой же точностью следует проводить расчет цепи. Сопротивления $R_{2}$ в тысячу раз меньше сопротивлений $R_{1}$. Поэтому силы токов через резисторы $R_{2}$ более чем в 100 раз меньше, чем силы токов через резисторы $R_{1}$. Следовательно, с приемлемой погрешностью при расчете сил токов $I_{0}$ и $I_{1}$ токами через резисторы $R_{2}$ можно пренебречь. Поэтому эти силы токов равны

Разность сил токов $\Delta I=\left(I_{0}-I_{1}\right)$ равна сумме сил токов «утечки» через резисторы $R_{2}$ Выберем произвольный резистор, номер которого обозначим $k(k=1,2, \ldots 7)$. В рамках использованного приближения, напряжение на этом резисторе равно
$$U_{k}^{'}=U_{0}-I_{0} R_{1} k=\frac{U_{0}}{7}(7-k) \tag{5}$$Поэтому сила тока через этот резистор равна
$$I_{k}^{'}=\frac{U_{k}^{'}}{R_{2}}=\frac{U_{0}}{7 R_{2}}(7-k)\tag{6}$$Осталось просуммировать эти силы токов:
$$\Delta I=\left(I_{0}-I_{1}\right)=\sum_{k=1}^{7} I_{k}^{'}=\sum_{k=1}^{7} \frac{U_{0}}{7 R_{2}}(7-k) \tag{7}$$Элементарный расчет приводит к результату

Расчет сопротивления бесконечной цепочки достаточно известен. Обозначим это
сопротивление $R_x$. Если от бесконечной цепочки мысленно отключить первое звено, то сопротивление оставшейся цепочки также будет равно $R_x$. Это позволяет построить эквивалентную схему цепочки. Запишем теперь выражение для сопротивления всей цепочки
$$R_{x}=R_{1}+\frac{R_{x} R_{2}}{R_{x}+R_{2}} \tag{9}$$

Это выражение следует рассматривать как квадратное уравнение для нахождения неизвестного сопротивления $R_{x}$
$$R_{x}^{2}-R_{x} R_{1}-R_{1} R_{2}=0\tag{10}$$Положительный корень этого уравнения определяется по формуле (отрицательное сопротивления физического смысла не имеет):
$$R_{x}=\frac{R_{1}+\sqrt{R_{1}^{2}+4 R_{1} R_{2}}}{2} \tag{11}$$При $R_{1}=R_{0}, R_{2}=2 R_{0}$ сопротивление цепочки оказывается равным

Рассмотрим произвольное звено бесконечной цепочки, схема которого и направления сил токов показаны на рисунке. Для этих сил токов можно записать два равенства
$$ I_{k-1}=I_{k}+I_{k}^{'}$$$$I_{k} R_{x}=I_{k}^{'} R_{2}$$

Из этих выражений следует, что
$$I_{k}=\frac{I_{k-1}}{1+\frac{R_{x}}{R_{2}}} \tag{13}$$Это рекуррентное соотношение определяет геометрическую прогрессию для последовательности значений сил токов. В явном виде можно записать формулу для геометрической прогрессии

Подстановка параметров цепи в эти формулы дает
$$\gamma=\frac{1}{2}, \quad I_{0}=\frac{U_{0}}{2 R_{0}}$$.
Тогда значения всех сил токов описываются формулой

При условии $R_{2}\gg R_{1}$ в формуле (11) надо оставить только самое большое слагаемое, которое определяет сопротивление всей цепи

В этом случае значения сил токов также образуют геометрическую прогрессию Знаменатель этой прогрессии и сила тока в цепи равны
$$\gamma=\left(1+\frac{R_{x}}{R_{2}}\right)^{-1}=\left(1+\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{-1} \approx\left(1-\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}\right) \tag{18}$$$$I_{0}=\frac{U_{0}}{\sqrt{R_{1} R_{2}}}$$Тогда явный вид формулы для значений сил токов записывается в виде:

Сопротивление медной жилы длиной $\Delta l$ рассчитывается по формул
$$R_{1}=\rho_{1} \frac{4 \Delta l}{\pi d_{0}^{2}} \tag{20}$$Подставив численные значения, получим (все величины в системе СИ):
$$R_{1}=1.7 \cdot 10^{-8} \frac{4 \cdot 10^{4}}{\pi \cdot\left(2 \cdot 10^{-2}\right)^{2}}=0.54~Ом \tag{21}$$Сопротивление всего кабеля

Ток через изоляцию протекает перпендикулярно оси кабеля, поэтому ее сопротивление равно

Для расчета отношения сил токов на выходе и входе следует воспользоваться формулой (19)
$$I_{1}=I_{0}\left(1-\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{N} \tag{24}$$Здесь $N=\frac{L}{\Delta l}$. Выразим отношение сопротивлений, входящих в эту формулу
$$\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}=\sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} \frac{4 \Delta l}{\pi d_{0}^{2}} \cdot \frac{\pi\left(d_{0}+\frac{h}{2}\right) \Delta l}{h}}=\alpha \Delta l \tag{25}$$Введенная здесь постоянная величина, равна
$$\alpha=\sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} \frac{4\left(d_{0}+\frac{h}{2}\right)}{d_{0}^{2} h}}=5.0 \cdot 10^{-7}~м^{-1} \tag{26}$$Теперь можно переписать формулу (24) в виде
$$\frac{I_{1}}{I_{0}}=\left(1-\sqrt{\frac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{N}=(1-\alpha \Delta l)^{\frac{L}{\Delta}} \tag{27}$$Можно убедиться в том, что при $\alpha \Delta l \ll 1$ результаты расчетов практически не зависят от искусственно выбранного значения $\Delta l$.
Так при $\Delta l=10~км$ получаем

Дополнение (от участников олимпиады не требуется). Строго говоря, в формуле (27) необходимо устремить $\Delta l \rightarrow 0$. В этом случае

$$\frac{I_{1}}{I_{0}}=(1-\alpha \Delta l)^{\frac{L}{\Delta}}=\exp (-\alpha L)=0.082$$

что совпадает с ранее полученным результатом.

Также можно указать смысл постоянной $\alpha$: обратная ей величина $\frac{1}{\alpha} \approx 2000~км$ есть расстояние на котором сила тока в кабеле убывает в  $ e \approx 2.7$ раз.