Исследовательский зонд, находящийся на круговой орбите радиуса $R$ вокруг планеты Шелезяка, изучает движение Болтика — маленького спутника планеты. Орбита Болтика также является круговой с радиусом $r$ ($r < R$) и лежит в той же плоскости, что и орбита зонда (см. рис. 1). В процессе наблюдения приборы зонда зафиксировали, что Болтик спустя $t_1=165\ мин$ после пересечения им видимого края диска планеты оказался на максимальном угловом расстоянии $\theta_{max}=15^\circ$ от центра Шелезяки, а ещё спустя некоторое время, большее $t_1$, снова пересёк край видимого диска планеты. Известно, что между указанными пересечениями других пересечений Болтика с видимым краем планеты не было. Планета Шелезяка имеет форму шара и лишена атмосферы. Масса Болтика много меньше массы планеты, зонд и спутник обращаются вокруг планеты в одну и ту же сторону. Угловой диаметр планеты, наблюдаемый зондом, равен $2\theta_0=6^\circ$. Гравитационная постоянная равна $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\ Н\cdot м^2/кг^2$.
Рис. 1
1
Определите отношение $R/r$.
2
Чему равен период обращения зонда $T$ вокруг Шелезяки?
3
Найдите среднюю плотность Шелезяки $\rho$.
Примечание:
Угловым расстоянием между точками $A$ и $B$ называется величина угла $\angle ASB$, на сторонах которого лежат рассматриваемые точки, а вершина $S$ находится в точке наблюдения (см. рис. 2а).
Угловым диаметром астрономического объекта (например, звезды или планеты) называется величина максимально возможного угла $\alpha$ между двумя касательными к поверхности рассматриваемого объекта, вершина которого находится в точке наблюдения $S$ (рис. 2б).
