Угловое расстояние между Болтиком и центром Шелезяки будет максимальным, когда прямая «зонд-Болтик» станет касательной к орбите спутника. В этом случае $\sin\theta_{max}=\frac{r}{R}$, откуда

Пусть $M$ — масса Шелезяки. Угловые скорости движения спутника и зонда, соответственно, равны
$$\omega_с=\sqrt{\frac{GM}{r^3}},\quad \omega_з=\sqrt{\frac{GM}{R^3}}
\qquad\Rightarrow\qquad \omega_с=\omega_з\left(\frac{R}{r}\right)^{3/2}\approx 7{,}595\omega_з.$$ Следовательно, с точки зрения зонда спутник делает один оборот вокруг планеты за время
$$T_{отн}=\frac{360^\circ}{\omega_с-\omega_з}=\frac{360^\circ}{6{,}595\omega_з}=\frac{T}{6{,}595}.$$

Чтобы найти $T_{отн}$, сделаем чертёж (см. рис.), где точка $O$ — центр планеты, точка $S$ — исследовательский зонд, а нарисованная окружность — орбита Болтика. В точках $A$ или $C$ спутник находится на краю видимого диска планеты, а точка $B$ соответствует максимальному угловому расстоянию между центром Шелезяки и Болтиком (при наблюдении с зонда).
Из геометрии рисунка $\angle ASB=\theta_{max}-\theta_0=12^\circ$, $\angle ODA=90^\circ+ \angle ASB=102^\circ$.
По теореме синусов для треугольника $\triangle SOA$
$$\frac{R}{\sin(\angle OAS)}=\frac{r}{\sin\theta_0},$$ откуда, учитывая, что $\angle OAS>90^\circ$, получим, что
$$\sin(\angle OAS)=\frac{R}{r}\cdot\sin\theta_0=3{,}864\cdot \sin 3^\circ\approx 0{,}202\qquad\Rightarrow\qquad \angle OAS\approx 168{,}334^\circ.$$ Найдём угол $\angle AOB$:
$$\angle AOB=\angle OAS-\angle ODA =66{,}334^\circ.$$ Так как движение по окружности равномерное, $\angle AOB=360^\circ t_1/T_{отн}$, откуда $$T_{отн}=\frac{360^\circ}{66{,}334^\circ}\cdot t_1\approx 5{,}43\cdot 165\ мин\approx 895\ мин.$$ С учётом того, что $T=6{,}595T_{отн}$, получим

Пусть $R_Ш$ — радиус Шелезяки, тогда $$\sin\theta_0=\frac{R_Ш}{R} \quad\Rightarrow\quad R_Ш=R\sin 3^\circ\approx 0{,}0523R.$$ Записывая массу планеты как $M=4\pi R_Ш^3\rho/3$ и подставляя её в выражение для угловой скорости движения зонда по орбите, получим
$$\omega_з^2=\frac{G\cdot 4\pi R_Ш^3\rho/3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad \frac{4\pi^2}{T^2}=\frac{4\pi G}{3}\cdot \rho\cdot 0{,}0523^3,$$ откуда