Pho.rs: Выигрышные блоки

1 ^?? Какой выигрыш $k_1$ она даст при равномерном подъёме груза $M_1 = 3{,}5M$?

В идеальной системе блоки имеют пренебрежимо малую массу, для такой системы выигрыш в силе всегда будет одинаковым. Для весомых блоков этот выигрыш является предельным, максимальным, почти достижимым при очень тяжелых грузах, масса которых много больше масс блоков. Распределение сил натяжения нитей в идеальной системе представлено на рис. 1, условие равномерного подъема груза имеет вид
$$10F=Mg$$ Отсюда выигрыш в силе для данной системы равен
$$k_{max}=\frac{Mg}{F}=10$$

Рис. 1

В системе, дающей выигрыш в силе в $k = 4$ раза блоки имеют массу, причем в условии не сказано, что блоки одинаковы, поэтому будем решать задачу с блоками различных масс. Введем массы блоков, обозначив их $m_1$, $m_2$, $m_3$, $m_4$, $m_5$ и $m_6$. Определим силы натяжения нитей в этом случае, записав условия равномерного поступательного движения блоков по вертикали.

Для блока $m_1$
\[2F=T_1+m_1 g\tag{1}\]Отсюда определим силу натяжения нити $T_1=2F-m_1 g$.
Для блока $m_4$
\[2T_1=T_2+m_4 g\tag{2}\]Отсюда определим силу натяжения нити $T_2=2T_1-m_4 g=4F-2m_1 g-m_4 g$.
Для блока $m_5$ уравнение будет таким же, так как по условию массы пятого и четвёртого блоков одинаковы.
Для блока $m_6$
\[2T_2=T_3+m_6 g\tag{3}\]Отсюда определим силу натяжения нити $$T_3=2T_2-m_6 g=8F-4m_1 g-2m_4 g-m_6 g.$$

Условие равномерного подъёма груза $M$
\[T_3+T_1=Mg \tag{4}\]Подставив $T_3$ и $T_1$ получим
\[10F-5m_1 g-2m_4 g-m_6 g=Mg\tag{5}\]По условию задачи $F=\frac{Mg}{k}$, где $k = 4$. Тогда \[10 \frac{Mg}{k}-5m_1 g- 2m_4 g-m_6 g=Mg\]\[\frac{10-k}{k} M=5m_1+2m_4+m_6 \tag{6}\]Так как $k = 4$, то
\[3/2 M=5m_1+2m_4+m_6\tag{7}\]

Рассмотрим равномерный подъём груза массой $M_1 = 3{,}5M$ и определим выигрыш в силе $k_1$. Обозначим силу, которую необходимо прикладывать к свободному концу верхней верёвки $F_1$. Условие равномерного подъёма этого груза можно записать так:
\[10F_1-5m_1 g-2m_4 g-m_6 g=M_1 g \tag{8}\]Из (6) получаем:
\[10F_1-\frac{10-k}{k} Mg=M_1 g \tag{9}\]Из записанного выражения определим отношение $\frac{F_1}{M_1g}$ (обратное $k_1$)
\[\frac{F_1}{M_1 g}=\frac{10-k}{k} \cdot \frac{M}{M_1} +\frac{1}{10}=\frac{3}{2}\cdot \frac{M}{M_1} + \frac{1}{10} \]Как видно, эта величина становится минимальной при очень больших массах груза, при $M_1 \gg M$, и в этом случае отношение $\frac{F_1}{M_1 g}$ минимально и равно $\frac{1}{10}$. Значит $k_{max} = 10$, как это и было ясно из общего анализа в начале решения.
При рассмотрении подъема груза $M_1 = 3{,}5M$ можно получить, что сила $F_1$, необходимая для его равномерного подъёма, равна \[F_1=0,5Mg \tag{10} \]Тогда выигрыш в силе рассчитывается так
\[k_1=\frac{M_1 g}{F_1} =\frac{3{,}5Mg}{0{,}5Mg}=7\tag{11}\]

2 ^?? Какой максимальный выигрыш $k_{max}$ в силе сможет дать такая система при равномерном подъеме груза?

3 ^?? Для каких масс грузов эта система может дать выигрыш в силе?

Определим массу груза $M_0$, для которой не будет выигрыша в силе. В этом случае сила, необходимая для его равномерного подъёма, равна $F_0=M_0 g$.
Запишем условие равномерного подъёма груза с учетом (6) или (7)
\[10M_0 g-\frac{10-k}{k}Mg=M_0 g \tag{12}\] или \[10M_0 g-\frac{3}{2} Mg=M_0 g\tag{12}\]Тогда масса груза, для которой не будет выигрыша в силе, равна
\[M_0=\frac{10-k}{k}M\]\[M_0=\frac{M}{6}\]

Выигрышные блоки

Решение