Равенство нулю проекции ускорения шарика в момент отрыва можно доказать другим способом: перейдём в поступательно движущуюся систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе отсчёта относительное ускорение шарика будет направлено вдоль наклонной поверхности клина. Поскольку в момент отрыва шарика от клина все действующие на клин силы вертикальны, его ускорение равно нулю. Это означает, что в лабораторной системе отсчёта ускорение шарика тоже будет направлено вдоль поверхности клина.
Так как стержень нерастяжимый, движение шарика представляет собой движение по окружности радиусом $L$. Найдём тангенциальную $a_{\tau}$ и нормальную $a_n$ компоненты ускорения шарика. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось. Так как по условию в рассматриваемый момент шарик отрывается от поверхности клина, на него действует единственная вертикальная сила — сила тяжести. Исходя из этого, получаем: $ma_{\tau}=mg\Rightarrow a_{\tau}=g.$
Для нахождения нормальной компоненты ускорения воспользуемся формулой центростремительного ускорения: $$a_n=\frac{u^2}{L}.$$
Далее рассмотрим три возможных способа определения скорости шарика $u$ в момент отрыва.
Первый способ
Запишем уравнение кинематической связи для проекций ускорений на нормаль к наклонной поверхности клина:
$$0=a_{\tau}\cos\alpha-a_n\sin\alpha\Rightarrow a_{\tau}=a_n\operatorname{tg}\alpha\Rightarrow g=\frac{u^2}{L}\operatorname{tg}\alpha \Rightarrow u^2=gL\operatorname{ctg}\alpha.$$
Второй способ
Второй закон Ньютона для шарика в момент отрыва: $$m\vec{a}=\vec{T}+m\vec{g}.$$ Как было доказано ранее, в момент отрыва ускорение шарика в лабораторной системе отсчёта направлено вдоль поверхности клина. Спроецируем второй закон Ньютона на ось перпендикулярную наклонной поверхности клина и получим:
$$T\sin{\alpha}=mg\cos{\alpha}.$$ В этот момент шарик движется по окружности с центром в точке $O$ и радиусом $L$, значит $T=ma_n.$
Следовательно:
$$\frac{u^2}{L}\sin{\alpha}=g\cos{\alpha}\Rightarrow g=\frac{u^2}{L}\operatorname{tg}\alpha \Rightarrow u^2=gL\operatorname{ctg}\alpha.$$
Третий способ
Запишем уравнение кинематической связи для скоростей шарика и клина при скольжении без отрыва в произвольный момент времени: $$u\cos{\varphi}=v\sin{\alpha},$$ где $\varphi$ — угол между стержнем и наклонной плоскостью клина.
Возьмём производную по времени от кинематической связи:
$$a_{\tau}\cos{\varphi}-u\sin{\varphi}\cdot\omega=a_{к}\sin{\alpha}.$$ В рассматриваемый момент $a_к=0$, так как все силы действующие на клин вертикальны, и $\varphi=\alpha.$ Тогда:
$$a_{\tau}=u\omega\operatorname{tg}\alpha=a_n\operatorname{tg}\alpha=\frac{u^2\operatorname{tg}\alpha}{L} \Rightarrow g=\frac{u^2\operatorname{tg}\alpha}{L} \Rightarrow u^2=gL\operatorname{ctg}\alpha.$$
С учётом того, что $u=v\operatorname{tg}\alpha$, окончательно получим: