Pho.rs: Радиан

1 ^??

Используя выданные распечатки, картон и весы, снимите зависимость отношения массы $m$ кругового сектора из картона с углом $\alpha$ в радианах к массе $M$ квадрата из картона, имеющего сторону, равную радиусу сектора, от угла $\alpha$ — $\frac{m }{M}( \alpha)$ (не менее 8 точек).

Вырежем из картона круги и квадраты. Взвесим их. Для увеличения точности измерений взвешиваем по 5 кругов и квадратов. Результат усредняем.

	Измерено (масса 5 штук)	Посчитано
Квадрат	1,86 г	0,372 г
Круг	5,84 г	1,168 г

Также посчитаем отношение массы круга к массе квадрата: $$ \frac {M_{круга}}{M_{квадрата}} \approx 3{,}14$$.

Вырезаем из картона секторы по 1 и 1,5 радиана (полурадианные секторы будут давать большую погрешность, поэтому выгоднее брать большие углы). Взвешиваем массы секторов с суммарно разными углами и считаем отношение к массе квадрата. Для большей точности можно взвешивание для одного и того же угла проводить несколько раз, используя разные секторы, и усреднять полученные результаты.

Ответ:

	Измерено	Посчитано
Угол, рад.	Масса, г	$ \frac {M_{сектора}}{M_{квадрата}} $
1,5	0,28	0,75
2	0,36	0,97
2,5	0,45	1,21
3	0,53	1,42
3,5	0,61	1,64
4	0,76	2,04
4,5	0,84	2,26
5	0,95	2,55
5,5	1,00	2,69
6	1,08	2,90
7	1,28	3,44

2 ^?? Постройте график этой зависимости.

Построим график. При построении графика учтем, что при нулевой массе сектора отношение масс должно в точности равняться нулю. То есть график будет выходить из начала координат.

Ответ:

3 ^?? Зависимость площади сектора от его радиуса $R$ и угла $\alpha$, выраженного в радианах, имеет вид $S_{сектора}= k \alpha R^2$. Пользуясь графиком, определите коэффициент пропорциональности $k$.

По графику видно, что зависимость линейна. Выведем теоретическую формулу этой зависимости: $$ \frac{M_{сектора}} {M_{квадрата}} = \frac{ \sigma k \alpha R^2 } { \sigma R^2} =k \alpha$$

Ответ: Из графика находим коэффициент $ k= \frac{4}{8} = 0{,}5$. Таким образом: $$S_{сектора} = 0{,}5 \alpha R^2$$

4 ^?? Экспериментально определите количество радиан в полном круге. Важно! Теоретические выводы не засчитываются!

Ответ: С учетом массы круга получим, что в полном круге примерно 6,28 радиан.

5 ^?? Выведите формулу перевода радианов в градусы.

Ответ: Тогда: 6,28 радиан равняется $360^\circ$. И значит, формула для перевода радианов градусы ($A$ — угол в градусах): $A = \frac {360 ^\circ }{6,28} \alpha $

6 ^?? К заданию также приложена распечатка с изображением большого сектора, угол и радиус которого неизвестны. Определите угол этого сектора в градусах.

Вырежем из круга, с которым работали ранее при изучении зависимости, сектор с углом в пять раз большим, чем угол сектора на выданном листе. Для этого сначала подготовим шаблон. Вырежем большой сектор и, используя его в качестве трафарета отложим нужные углы на любом из кругов из первой распечатки. Далее вырежем получившийся шаблон из бумаги и уже по нему будем вырезать сектор из картона. Его масса — 0,64 г. Тогда масса сектора с нужным нам углом в 5 раз меньше — 0,128 г.

Ответ: С учетом предыдущих результатов, угол сектора:
$$\beta = \frac{ 2 M_{сектора}} {M_{квадрата}} = \frac{2 \cdot 0,128 ~г}{0,372~ г} \approx 0{,}69 ~рад \approx 39{,}4 ^\circ$$

Радиан

Решение