1  ^?? тангенциальное ускорение точек шнура;

Найдём из энергетических соображений ускорение шнурка $a$ в данный момент времени. Приращение кинетической энергии шнурка массой $m$ за малый промежуток времени $\Delta t$ равно:
$$\Delta W = \frac{m(v+\Delta v)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} \approx mv\Delta v = mva\Delta t.$$Уменьшение его потенциальной энергии за то же время связано фактически с "перемещением" малого отрезка шнурка длиной $\Delta x = v \Delta t$ и массой $m\Delta x/L$ сверху вниз на расстояние $h = 4R$, то есть:
$$\Delta U = \frac{m\Delta x}{L} \cdot gh = \frac{mv\Delta t}{L} \cdot g \cdot 4R.$$Из закона сохранения механической энергии получаем:
$$a = \frac{gh}{L} = \frac{4gR}{L} = \frac{2g}{\pi}.$$

2  ^?? все точки на шнурке, в которых сила его натяжения в этот момент равна нулю.

Мысленно разрежем теперь шнурок в какой-нибудь точке на два куска. Очевидно, что если место разреза выбрано так, что ускорения этих кусков совпадают, то сила натяжения шнурка в данной точке равна нулю, и наоборот. Пусть длины кусков равны $l'$ и $l''$, причем $l' + l'' = L$. Применяя найденную выше формулу для ускорения и подставляя в нее вместо $h$ разности высот концов этих кусков $h'$ и $h''$ получаем $h'/l' = h'' / l'' = h/L = 4R/L = 2/\pi$. Легко видеть, что этому условию удовлетворяют точки $A_1, B$ и $A_2$ (см. рис.).