Pho.rs: Гравитационные волны

1 ^5.35 Измерьте зависимость скорости $v$ движения гребня волны от толщины $h$ слоя воды в кювете в диапазоне $h$ от $1.0$ до $4.5~см$.

Запустим процесс распространения волны в кювете. Для более точного определения скорости будем записывать время $t$ нескольких прохождений $N$ гребнем расстояния $l=(30 \pm 1) ~см$ от стенки до стенки. При этом значение $N$ не должно превышать $7$, так как при большем числе прохождений кюветы волна достаточно сильно затухает. Для расчета скорости воспользуемся формулой:
$$v=\frac{lN}{t} \tag{2}$$Проведем измерения времени $t$ для нескольких высот $h$ из указанного диапазона. Для получения достоверных результатов каждое время будем измерять $5$ раз. При измерении толщины слоя воды учтем, что край линейки не совпадает с началом шкалы. Для корректного измерения толщины будем проводить измерения, разместив кювету на краю стола, чтобы сопоставлять начало шкалы линейки и дно сосуда. Рассчитаем значение скорости движения гребня волны для каждой из высот на основании усредненного времени $t$.

Ответ:

$h~мм$	$N$	$t_1,~с$	$t_2,~с$	$t_3,~с$	$t,~с$	$v,~м/с$	$\sqrt{gh},~м/с$
7	4	4.66	4.64	4.68	4.66	0.26	0.26
17	6	4.53	4.50	4.50	4.51	0.40	0.41
23	6	4.00	4.06	4.00	4.02	0.45	0.47
29	6	3.56	3.53	3.50	3.53	0.51	0.43
34	6	3.35	3.25	3.34	3.31	0.54	0.58
40	6	2.94	3.06	3.06	3.02	0.60	0.63
46	6	2.86	2.97	2.75	2.86	0.63	0.67
52	6	2.47	2.625	2.62	2.57	0.70	0.71
10	4	3.75	3.65	3.90	3.77	0.32	0.31

2 ^0.70 Постройте график исследуемой зависимости $v(h)$.

Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

3 ^0.40 Предположим, что скорость $v$ гребня волны зависит только от толщины $h$ слоя воды и ускорения свободного падения $g$ следующим образом:
$$v=A g^x h^y,$$где $A, x, y$ – безразмерные константы. Исходя из единиц измерения величин, входящих в уравнение (1), определите значения констант $x$ и $y$.

Воспользуемся методом размерностей для определения вида теоретической
$$ \frac{м}{с}=\frac{м^x}{с^{2x}}м^y.\tag3{}$$Составим уравнения на значений степеней:
$$ \begin{cases}
1= x+y\\
1 = 2x
\end{cases}\tag{4}$$Откуда получаем:
$$ \begin{cases}
y= 0.5\\
x = 0.5
\end{cases}\tag{5}$$Следовательно, формулу (1) можно записать в виде:

Ответ: $$ v=A\sqrt{gh}.\tag{6}$$

4 ^3.55 Проверьте, выполняется ли предположение пункта 3. Для этого постройте график зависимости $v(h)$ в координатах, в которых он может описываться линейной функцией. Если предположение пункта 3 выполняется, определите значение константы $A$ в уравнении (1).

Для проверки выполняемости теоретической модели, рассчитаем в таблице значения $\sqrt{gh}$ для каждого уровня воды в кювете и построим график зависимости $v(\sqrt{gh})$.

Видно, что точки описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом $A=(0.97)\approx 1$. И действительно, теоретическое значение скорости распространения гребня при пренебрежении силами поверхностного натяжения составляет $v_{теор}=\sqrt{gh}$. То есть можно утверждать, что теоретическая модель с хорошей точностью описывает изучаемый процесс.

Ответ: $A= 1$.

Гравитационные волны

Решение