Logo
Logo

Волновая оптика

A1  0.10 Линейно поляризованный свет интенсивностью $I_0$ падает на анализатор $A$, ось поляризации которого повернута на угол $\alpha$ по отношению к оси поляризатором $P$. Определите интенсивность света после прохождения через анализатор. Отражением и поглощением пренебречь.

Ответ: При проецировании напряженности $I_0$ на ось, напряженность $E\sim\sqrt{I_0}$ имеет проекцию $E\cdot\cos{\alpha}$, из чего следует интенсивность на выходе, равная $I\sim(E\cos\alpha)^2$, $I=I_0\cos^2{\alpha}$

A2  0.40 Поляризатор и анализатор расположены перпендикулярно друг другу, и свет не проходит через анализатор. Если между двумя элементами поместить третий поляризатор $P'$, свет начинает проходить через анализатор. Найдите интенсивность $I$ прошедшего света через интенсивность падающего света $I_0$ и угол $\alpha$, который составляет ось поляризатора $P'$ с осью поляризатора $P$. Найдите максимальную интенсивность прошедшего света $I'$ и угол $\alpha'$, при котором она достигается.

Ответ: Дважды применив результат из пункта A1, получим выходную интенсивность, равную $I=I_0\cos^2(\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{I_0}{4}\sin^2(2\alpha)$. Максимум достигается при $$\alpha = \frac{\pi}{4}, I_{max} = \frac{1}{4} I_0.$$

A3  0.30 Рассмотрим кристалл, грани которого параллельны оси кристалла. Линейно-поляризованный свет нормально так падает на поверхность кристалла. Два луча будут распространяться в одном направлении, но с разными скоростями. Они линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. На выходе из кристалла между двумя лучами появляется фазовый сдвиг. Выразите этот фазовый сдвиг $\delta$ через показатели преломления $n_o$ и $n_e$, а также длину волны излучения $\lambda$ и толщину кристалла $d$.

Ответ: Оптическая разность хода равна $(n_e - n_0) \cdot d$. Как следствие, сдвиг фазы равен $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_e-n_0)$

A4  1.20 Пусть амплитуды обеих волн (обыкновенной и необыкновенной), одинаковы и равны $E$. Найдите соотношение между напряженностью электрического поля необыкновенной волны $E_e$, напряженностю электрического поля обыкновенной волны $E_o$ и фазовым сдвигом $\delta$. Проанализируйте случаи, когда сдвиг фазы $\delta$ принимает значения $\delta = 2\pi k, \delta=(2k+1)\pi, \delta=k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in Z.$ Для каждого из случаев укажите поляризацию света, выходящего из кристалла.

Ответ: $E_e = E \cdot \sin(\omega t), E_o = E \cdot \sin(\omega t + \delta)$. Верно, что $$E_o = E \sin(\omega t)\cos(\delta) + E \sin(\delta)\cos(\omega t)$$ $$(E_o - E \sin(\omega t)\cos(\delta))^2 = (E \sin(\delta)\cos(\omega t))^2$$. Если расскрыть квадрат, мы получим финальное соотношение $E_0^2 + E_e^2 - 2 E_0 E_e \cos(\delta) = E^2\sin^2(\delta)$

B1  0.50 Найдите приближенную функцию зависимости $\eta(E)$.

Ответ: $$\eta = \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n_0^2(1+aE)^2} = \frac{1}{n_0^2}(1 - 2 a E) = \frac{1}{n_0^2} (1+ r E n_0^2) = \frac{1}{n_0^2} + r E.$$

B2  0.50 Вариант ячейки Поккельса показан на рисунке. Показатель преломления вещества в отсутствие поля $n_0$, размеры ячейки $L$ и $d$. длина волны используемого излучения $\lambda$, и коэффициент Поккельса $r$. Какое напряжение нужно приложить, чтобы ячейка вносила разность фаз $\delta\phi=\phi-\phi_0=\pi$, где $\phi_0$ — фазовый сдвиг при отсутствии поля, $\phi$ — в присутствии поля.

Ответ: Для разности фаз в $\pi$, необходимо получить такое поле $E$, что $$\alpha E L = \frac{\lambda}{2}.$$
Значит,
$$U=Ed=\frac{\lambda d}{2 \alpha L} = \frac{\lambda d}{r n_0^3 L}.$$
(Знак в этой части неважен, поскольку на рисунке не указано положительное направление поля, и, как следствие, мы не можем его узнать).

B3  1.00 Пусть для некоторого анизотропного вещества два показателя преломления зависят от напряженности поля следующим образом $n_e=n_{e0}-\cfrac{1}{2}r_en_{e0}^3E$ и $n_o=n_{o0}-\cfrac{1}{2}r_on_{o0}^3E$. Кристалл был вырезан так, что в отсутствии поля на выходе получался линейно-поляризованный свет. Какое минимальное напряжение нужно приложить, чтобы получить на выходе линейно-поляризованный свет, поляризация которого повернута на $90^\circ$ относительно той, которая получается на выходе при отсутствии напряжения?

Ответ: Для поворота плоскости поляризации на $90^\circ$, нужна разность фаз в $\pi$. Для того, чтобы она была достигнута, нужно такое напряжение $U$, что $\frac{1}{2}(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)\frac{U}{d}L = \frac{\lambda}{2}$.
$U = \frac{\lambda d}{(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)L}$

B4  2.00 На рисунке изображена кювета с нитробензолом (который проявляет эффект Керра), в которой расположен конденсатор. С обеих сторон к кювете примыкают два идеальных поляроида, разрешенные направления которых параллельны и направлены под углом $\alpha=45^\circ$ к направлению поля в конденсаторе. Пластины конденсатора имеют длину $l=5 \text{см}$, расстояние между ними $d=5 \text{мм}$. К конденсатору приложено напряжение $U=2910 \text{В}$. Определите интенсивность $I$ света на выходе второго поляроида, если на первый поляроид падает свет, поляризованный по кругу с интенсивностью $I_0$. Постоянная Керра для нитробензонла равна $B=2.2\cdot 10^{-12} \text{м/В}^2$.

Ответ: Если на выходе из первого поляризатора есть равные компоненты поляризации
$$(E\sin(\omega t), E\sin(\omega t))$$
, то на выходе кюветы будет
$$(E\sin(\omega t + \varphi), E\sin(\omega t + \varphi + \delta)).$$
После прохождения второго поляризатора свет пойдет с напряженностью
$$\sqrt{2}E_{out} = E\sin(\omega t + \varphi) + E\sin(\omega t + \varphi + \delta) = E \sin(\omega t + \varphi) \cdot (1 + \cos{\delta}) + E \cos(\omega t + \varphi) \sin{\delta}.$$
Квадрат амплитуды колебаний $E_{out}$ равен
$$\frac{1}{2}E^2((1 + \cos{\delta})^2 + \sin^2{\delta}) = E^2(1 + \cos{\delta}).$$
Из этого
$$I = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos{\delta}) = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos(2 \pi B E^2 L)), E = \frac{U}{d}.$$
$$I \approx 0.4931 I_0.$$

C1  1.00 Выразите интенсивность в точке $M$ в виде $I(M)=2I_0[1+V(p)\cos (2\pi p)]$. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \Delta\lambda$ и $p$.

Ответ: При инетференции двух монохроматических лучей в точке с порядком интерференции $p$, получается интенсивность $\delta I = 2 \delta I_0 (1 + \cos(2 \pi p))$. Если взять интеграл
$$I = \int_{k-\Delta k / 2} ^ {k+\Delta k / 2} 2 I_0 (1 + \cos(2 \pi p)) \frac{d k}{\Delta k},$$
то получится выражение
$$I = 2 \delta I_0 (1 + sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})\cos(2 \pi p)).$$
$$V(p) = sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})$$

C2  0.60 Найдите длину когерентности $\Delta l$, которая определяется как минимальная оптическая разность хода, при которой смазывается интерференционная картина. Найдите связь между времем когерентности $\Delta t=\Delta l/c$ и шириной спектра $\Delta\nu$.

Ответ: Интеренференционная картина полностью смазывается, когда $V(p) = 0$. Первый раз такое происходит при
$$p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = 1.$$
Как следствие
$$\Delta l = \frac{\lambda_0^2}{\Delta \lambda} = 3.45\,м.$$
$$\Delta \nu = \nu \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{c\,\Delta \lambda}{\lambda_0^2}.$$
$$\Delta \nu \cdot \Delta t = 1.$$

C3  0.60 Определить наибольшее значение порядка интерференции $p$, для которого видность $V(p)$ наблюдаемых полос выше $90\%$.

Ответ: Численно решив уравнение $\sin{x} = 0.9\,x$ на калькуляторе, мы получим $x \approx 0.78668$.
$$p = \frac{\lambda_0}{\pi \Delta \lambda} x = 1.34 \cdot 10^6.$$

C4  1.00 Выразите интенсивность в точке наблюдения интерференционной картины $M$ в виде аналогичном пункту C1. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \delta\lambda, \Delta\lambda$ и $p$.

Ответ: Если сложить
$$I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 - \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))) + I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 + \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))),$$
то получится
$$2 I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p)).$$
То есть
$$V(p) = sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})$$

C5  0.40 Для какого порядка интерференции $p_0$ в точке $M$ будет наибольшая интенсивность?

Ответ: Из формулы очевидно, что максимальная интенсивность достигается в $p_0 = 0$.

C6  0.70 Для какого порядка интерференции $p_1$ в точке $M$ будет первое уменьшение интенсивности света до значения, равного половине наибольшей интесивности?

Ответ: В целых $p$ первое значение интенсивности меньше $I_0 / 2$ будет в точке
$$p_1=\frac{\lambda_0}{2\Delta\lambda} \approx 491$$
где $V(p)$ впервые обращается в $0$.

C7  0.70 Начиная с какого порядка интерференции $p_2$, контраст интерференционных полос начинает снова увеличиваться после того, как он всегда уменьшался?

Ответ: Контраст максимумов относительно засветки уменьшается при уменьшении $sinc$ в $V(p)$. Поэтому заново он начнет увеличиваться в момент, когда $sinc$ станет равен нулю — то есть верно, что
$$\pi p_2 \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \pi,$$
$$p_2 = \frac{\lambda_0}{\delta \lambda} \approx 53\,573.$$