Pho.rs: Волновая оптика

A1 ^0.10 Линейно поляризованный свет интенсивностью $I_0$ падает на анализатор $A$, ось поляризации которого повернута на угол $\alpha$ по отношению к оси поляризатором $P$. Определите интенсивность света после прохождения через анализатор. Отражением и поглощением пренебречь.

Ответ: При проецировании напряженности $I_0$ на ось, напряженность $E\sim\sqrt{I_0}$ имеет проекцию $E\cdot\cos{\alpha}$, из чего следует интенсивность на выходе, равная $I\sim(E\cos\alpha)^2$, $I=I_0\cos^2{\alpha}$

A2 ^0.40 Поляризатор и анализатор расположены перпендикулярно друг другу, и свет не проходит через анализатор. Если между двумя элементами поместить третий поляризатор $P'$, свет начинает проходить через анализатор. Найдите интенсивность $I$ прошедшего света через интенсивность падающего света $I_0$ и угол $\alpha$, который составляет ось поляризатора $P'$ с осью поляризатора $P$. Найдите максимальную интенсивность прошедшего света $I'$ и угол $\alpha'$, при котором она достигается.

Ответ: Дважды применив результат из пункта A1, получим выходную интенсивность, равную $I=I_0\cos^2(\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{I_0}{4}\sin^2(2\alpha)$. Максимум достигается при $$\alpha = \frac{\pi}{4}, I_{max} = \frac{1}{4} I_0.$$

A3 ^0.30 Рассмотрим кристалл, грани которого параллельны оси кристалла. Линейно-поляризованный свет нормально так падает на поверхность кристалла. Два луча будут распространяться в одном направлении, но с разными скоростями. Они линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. На выходе из кристалла между двумя лучами появляется фазовый сдвиг. Выразите этот фазовый сдвиг $\delta$ через показатели преломления $n_o$ и $n_e$, а также длину волны излучения $\lambda$ и толщину кристалла $d$.

Ответ: Оптическая разность хода равна $(n_e - n_0) \cdot d$. Как следствие, сдвиг фазы равен $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_e-n_0)$

A4 ^1.20 Пусть амплитуды обеих волн (обыкновенной и необыкновенной), одинаковы и равны $E$. Найдите соотношение между напряженностью электрического поля необыкновенной волны $E_e$, напряженностю электрического поля обыкновенной волны $E_o$ и фазовым сдвигом $\delta$. Проанализируйте случаи, когда сдвиг фазы $\delta$ принимает значения $\delta = 2\pi k, \delta=(2k+1)\pi, \delta=k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in Z.$ Для каждого из случаев укажите поляризацию света, выходящего из кристалла.

Ответ: $E_e = E \cdot \sin(\omega t), E_o = E \cdot \sin(\omega t + \delta)$. Верно, что $$E_o = E \sin(\omega t)\cos(\delta) + E \sin(\delta)\cos(\omega t)$$ $$(E_o - E \sin(\omega t)\cos(\delta))^2 = (E \sin(\delta)\cos(\omega t))^2$$. Если расскрыть квадрат, мы получим финальное соотношение $E_0^2 + E_e^2 - 2 E_0 E_e \cos(\delta) = E^2\sin^2(\delta)$

B1 ^0.50 Найдите приближенную функцию зависимости $\eta(E)$.

Ответ: $$\eta = \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n_0^2(1+aE)^2} = \frac{1}{n_0^2}(1 - 2 a E) = \frac{1}{n_0^2} (1+ r E n_0^2) = \frac{1}{n_0^2} + r E.$$

B2 ^0.50 Вариант ячейки Поккельса показан на рисунке. Показатель преломления вещества в отсутствие поля $n_0$, размеры ячейки $L$ и $d$. длина волны используемого излучения $\lambda$, и коэффициент Поккельса $r$. Какое напряжение нужно приложить, чтобы ячейка вносила разность фаз $\delta\phi=\phi-\phi_0=\pi$, где $\phi_0$~— фазовый сдвиг при отсутствии поля, $\phi$~— в присутствии поля.

Ответ: Для разности фаз в $\pi$, необходимо получить такое поле $E$, что $$\alpha E L = \frac{\lambda}{2}.$$
Значит,
$$U=Ed=\frac{\lambda d}{2 \alpha L} = \frac{\lambda d}{r n_0^3 L}.$$
(Знак в этой части неважен, поскольку на рисунке не указано положительное направление поля, и, как следствие, мы не можем его узнать).

B3 ^1.00 Пусть для некоторого анизотропного вещества два показателя преломления зависят от напряженности поля следующим образом $n_e=n_{e0}-\cfrac{1}{2}r_en_{e0}^3E$ и $n_o=n_{o0}-\cfrac{1}{2}r_on_{o0}^3E$. Кристалл был вырезан так, что в отсутствии поля на выходе получался линейно-поляризованный свет. Какое минимальное напряжение нужно приложить, чтобы получить на выходе линейно-поляризованный свет, поляризация которого повернута на $90^\circ$ относительно той, которая получается на выходе при отсутствии напряжения?

Ответ: Для поворота плоскости поляризации на $90^\circ$, нужна разность фаз в $\pi$. Для того, чтобы она была достигнута, нужно такое напряжение $U$, что $\frac{1}{2}(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)\frac{U}{d}L = \frac{\lambda}{2}$.
$U = \frac{\lambda d}{(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)L}$

B4 ^2.00 На рисунке изображена кювета с нитробензолом (который проявляет эффект Керра), в которой расположен конденсатор. С обеих сторон к кювете примыкают два идеальных поляроида, разрешенные направления которых параллельны и направлены под углом $\alpha=45^\circ$ к направлению поля в конденсаторе. Пластины конденсатора имеют длину $l=5~\text{см}$, расстояние между ними $d=5~\text{мм}$. К конденсатору приложено напряжение $U=2910~\text{В}$. Определите интенсивность $I$ света на выходе второго поляроида, если на первый поляроид падает свет, поляризованный по кругу с интенсивностью $I_0$. Постоянная Керра для нитробензонла равна $B=2.2\cdot 10^{-12}~\text{м/В}^2$.

Ответ: Если на выходе из первого поляризатора есть равные компоненты поляризации
$$(E\sin(\omega t), E\sin(\omega t))$$
, то на выходе кюветы будет
$$(E\sin(\omega t + \varphi), E\sin(\omega t + \varphi + \delta)).$$
После прохождения второго поляризатора свет пойдет с напряженностью
$$\sqrt{2}E_{out} = E\sin(\omega t + \varphi) + E\sin(\omega t + \varphi + \delta) = E \sin(\omega t + \varphi) \cdot (1 + \cos{\delta}) + E \cos(\omega t + \varphi) \sin{\delta}.$$
Квадрат амплитуды колебаний $E_{out}$ равен
$$\frac{1}{2}E^2((1 + \cos{\delta})^2 + \sin^2{\delta}) = E^2(1 + \cos{\delta}).$$
Из этого
$$I = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos{\delta}) = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos(2 \pi B E^2 L)), E = \frac{U}{d}.$$
$$I \approx 0.4931 I_0.$$

C1 ^1.00 Выразите интенсивность в точке $M$ в виде $I(M)=2I_0[1+V(p)\cos (2\pi p)]$. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \Delta\lambda$ и $p$.

Ответ: При инетференции двух монохроматических лучей в точке с порядком интерференции $p$, получается интенсивность $\delta I = 2 \delta I_0 (1 + \cos(2 \pi p))$. Если взять интеграл
$$I = \int_{k-\Delta k / 2} ^ {k+\Delta k / 2} 2 I_0 (1 + \cos(2 \pi p)) \frac{d k}{\Delta k},$$
то получится выражение
$$I = 2 \delta I_0 (1 + sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})\cos(2 \pi p)).$$
$$V(p) = sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})$$

C2 ^0.60 Найдите длину когерентности $\Delta l$, которая определяется как минимальная оптическая разность хода, при которой смазывается интерференционная картина. Найдите связь между времем когерентности $\Delta t=\Delta l/c$ и шириной спектра $\Delta\nu$.

Ответ: Интеренференционная картина полностью смазывается, когда $V(p) = 0$. Первый раз такое происходит при
$$p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = 1.$$
Как следствие
$$\Delta l = \frac{\lambda_0^2}{\Delta \lambda} = 3.45\,м.$$
$$\Delta \nu = \nu \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{c\,\Delta \lambda}{\lambda_0^2}.$$
$$\Delta \nu \cdot \Delta t = 1.$$

C3 ^0.60 Определить наибольшее значение порядка интерференции $p$, для которого видность $V(p)$ наблюдаемых полос выше $90\%$.

Ответ: Численно решив уравнение $\sin{x} = 0.9\,x$ на калькуляторе, мы получим $x \approx 0.78668$.
$$p = \frac{\lambda_0}{\pi \Delta \lambda} x = 1.34 \cdot 10^6.$$

C4 ^1.00 Выразите интенсивность в точке наблюдения интерференционной картины $M$ в виде аналогичном пункту C1. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \delta\lambda, \Delta\lambda$ и $p$.

Ответ: Если сложить
$$I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 - \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))) + I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 + \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))),$$
то получится
$$2 I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p)).$$
То есть
$$V(p) = sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})$$

C5 ^0.40 Для какого порядка интерференции $p_0$ в точке $M$ будет наибольшая интенсивность?

Ответ: Из формулы очевидно, что максимальная интенсивность достигается в $p_0 = 0$.

C6 ^0.70 Для какого порядка интерференции $p_1$ в точке $M$ будет первое уменьшение интенсивности света до значения, равного половине наибольшей интесивности?

Ответ: В целых $p$ первое значение интенсивности меньше $I_0 / 2$ будет в точке
$$p_1=\frac{\lambda_0}{2\Delta\lambda} \approx 491$$
где $V(p)$ впервые обращается в $0$.

C7 ^0.70 Начиная с какого порядка интерференции $p_2$, контраст интерференционных полос начинает снова увеличиваться после того, как он всегда уменьшался?

Ответ: Контраст максимумов относительно засветки уменьшается при уменьшении $sinc$ в $V(p)$. Поэтому заново он начнет увеличиваться в момент, когда $sinc$ станет равен нулю — то есть верно, что
$$\pi p_2 \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \pi,$$
$$p_2 = \frac{\lambda_0}{\delta \lambda} \approx 53\,573.$$

Волновая оптика

Решение