A1  ^?? Исходя из формул Френеля для отражения света от стекла при нормальном падении, покажите, что амплитудные коэффициенты отражения $r$ и $r'$ при отражении от поверхности в обоих направлениях удовлетворяют равенству $r=-r'$ и соответствующие коэффициенты пропускания $t$ и $t'$ удовлетворяют равенству $tt'=1-r^{2}$.

Формулы Френеля имеют вид $$r=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}, \quad r'=\frac{n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}} \implies r=-r'. \tag{1}$$ Непрерывность компоненты электрического поля для случая нормального падения требует выполнения равенства $1+r=t$ $$t=\frac{2 n_{1}}{n_{1}+n_{2}}, \quad t'=\frac{2 n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \implies t t'=1-r^{2} \tag{2}$$

B1  ^?? Слой прозрачного вещества с показателем преломления $n_{1}$, параллельными гранями и толщиной $e$ покрывает стеклянную поверхность с показателем преломления $n_{2}$. Его верхняя грань находится в контакте с воздухом, показатель преломления которого принимается равным единице. Плоская монохроматическая волна, имеющая длину $\lambda$ в воздухе и единичную амплитуду, пересекает слой со стороны воздуха при нормальном падении. Покажите, что интенсивность отраженной волны с учетом многократного отражения определяется выражением $$R=\frac{r_{1}^2+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \varphi}{1+r_{1}^{2} r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \varphi},$$ где $r_{1}$ и $r_{2}$ – коэффициенты отражения света для переходов воздух – слой и слой – стекло соответственно, а $\varphi$ – разность фаз между двумя последующими отраженными лучами.

Коэффициент отражения может быть найден методом, используемым в задаче Распределение волн в слоистой диэлектрической среде. В этом случае нужно учитывать многократные отражения (Рис. 1).

Чтобы получить амплитуду отраженного света, можно просуммировать амплитуды последующих лучей либо в воздухе, либо в веществе с показателем преломления $n_{1}$. Электрическое поле имеет одно и то же значение с каждой стороны $\Sigma_{1}$ на поверхности раздела двух сред. $$E=E_i+E_r=E_t \tag{3}$$

 

Обозначим через $\varphi$ сдвиг фазы, производимый двойным прохождением через вещество: $$\varphi=\frac{2 \pi}{\lambda} \cdot 2 n_{1} e;$$ если $r<1$, то всегда имеем $r^{N} \rightarrow 0$ ($N$ – число отражений). Значение результирующего поля в воздухе равно $$E=1+r_{1}+t_{1} t_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}\left[1+r_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}\ldots\right]=1+r_{1}+\frac{t_{1} t_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}}{1-r_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}} \tag{4}$$ Значение результирующего поля в веществе есть $$E=t_{1}\left[1+r_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}+\ldots\right]+t_{1} r_{2} e^{-j \varphi}\left[1+r_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}+\ldots\right]=\frac{t_{1}\left[1+r_{2} e^{-j \varphi}\right]}{1-r_{1}' r_{2} e^{-j \varphi}}.\tag{5}$$ Можно легко убедиться в том, что уравнения $(4)$ и $(5)$ идентичны, так как $1+r_{1}=t_{1}$. Принимая $E=E_{i}+E_{r}=1+r$ и используя $(1)$ и $(2)$, можно из $(4)$ сразу получить амплитуду отраженного света: $$r=r_{1}+\frac{\left(1-r_{1}^{2}\right) r_{2} e^{-j \varphi}}{1+r_{1} r_{2} e^{-i \varphi}}. \tag{6}$$ Значение энергии отраженного света $R=|r|^{2}$ дается в тексте задачи. 

Примечание

В качестве следующего упражнения можно заменить амплитуды $r_{1}$ и $r_{2}$ их значениями из формул Френеля и проверить уравнение $(6)$ в этой задаче и уравнение $(28)$ в задаче Распределение волн в слоистой диэлектрической среде.

C1  ^?? Покажите, что если $1 < n_{1} < n_{2}$, то коэффициент пропускания среды слой + стекло всегда больше, чем коэффициент пропускания только стекла для любой толщины слоя $e$. В случае, когда $n_{1}=1.35$ и $n_{2}=1.50$, покажите, насколько уменьшится коэффициент отражения $R$ (по интенсивности) по сравнению с коэффициентом отражения одного стекла, если нанести слой оптимальной толщины.

Почему из возможных значений оптимальной толщины слоя для длины волны $\lambda$ выбирается только наименьшее?

$1 < n_{1} < n_{2}$. Покрытие поверхности может только увеличить коэффициент пропускания. Действительно,

Пленка на поверхности

$$R_{с~покр}=R_{мин}, \quad если \quad \varphi=(2 k+1) \pi \quad или \quad n_{1} e=(2 k+1) \frac{\lambda_{0}}{4},$$ $$R=\left(\frac{r_{1}-r_{2}}{1-r_{1} r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{n_{2}-n_{1}^{2}}{n_{2}+n_{1}^{2}}\right)^{2}.$$

Численный пример

$$R=\left[\frac{1.50-(1.35)^{2}}{1.50+(1.35)^{2}}\right]^{2}=\left[\frac{-0.32}{3.32}\right]^{2} \approx 0.01$$ Условие $n_{1} e=(2 k+1) \lambda_{0}/4$ приблизительно выполняется для длин волн вблизи $\lambda_{0}$ и выполняется в более широкой области, если $k$ мало. Этим обусловлен выбор $k=0$.

Стекло без покрытия

$$R_{макс}=R_{без~покр},\quad если \quad \varphi=2 k \pi \quad (или \quad n_{1} e=k \lambda_{0}/2)$$ $$R=\left(\frac{1-n_{2}}{1+n_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1-1.5}{1+1.5}\right)^{2}=0.04$$

D1  ^?? Покажите, что если $n_{1}>n_{2}$, то коэффициент отражения стекла увеличивается. Для какой толщины значение $R$ максимально? Сделайте расчет для $n_{1}=2.30$.

$1 < n > n_{2}$. Покрытие поверхности может только увеличить коэффициент отражения: 

• $R_{с~покр }=R_{макс}$, если $\varphi=(2 k+1) \pi$ или $n_{1} e=(2 k+1) \lambda_{0} / 4$, $$R=\left(\frac{r_{1}-r_{2}}{1-r_{1} r_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{n_{2}-n_{1}^{2}}{n_{2}+n_{1}^{2}}\right)^{2}$$
• $R_{без~покр}=\left(\frac{1-n_{2}}{1+n_{2}}\right)^{2}.$

Численный пример

$$R_{с~покр}=\left[\frac{1.50-(2.3)^{2}}{1.50+(2.3)^{2}}\right]^{2}=\left(\frac{3.8}{6.8}\right)^{2}=0.31$$$$R_{без~покр}=0.04.$$

E1  ^?? Укажите преимущества и недостатки частично отражающих металлических и диэлектрических пленок.