Полная внутренняя энергия системы в целом в процессе выравнивания температур не изменяется, так как она не совершает работу и к ней не подводится тепло, то есть $$U=U_{0}. \tag{1}$$ Отсюда следует, что при перемещении перегородки не изменяются и давления газов в каждой из частей сосуда, которые равны между собой в данном квазистатическом процессе. Действительно, начальная внутренняя энергия системы равна $$U_{0}=\frac{C_{V}}{R} P_{0} \cdot 2 V_{0}, \tag{2}$$ где $$C_{V}=\frac{5}{2} R. \tag{3}$$ Внутренняя энергия в произвольный момент времени составляет \[U=\frac{C_{V}}{R} P\left(2 V_{0}\right), \tag{4}\] где $P$ – давление газа в обеих частях сосуда, которое получается из уравнений $(1)-(4)$ $$P=P_{0}, \tag{5}$$ то есть происходящие с газами процессы являются изобарными.
Запишем уравнение состояния идеального газа для каждой из частей сосуда в начальный момент времени $$P_{0} V_{0}=\nu_{1} R T_{1}, \tag{6}$$ $$P_{0} V_{0}=\nu_{2} R T_{2}, \tag{7}$$ где $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ – количество молей азота в каждой из половин сосуда соответственно.
В конечном состоянии газ находится при некоторой температуре $T_{0}$ и его уравнение состояния имеет вид $$P_{0} 2 V_{0}=\nu R T_{0} \tag{8}$$ где полное число молей азота в сосуде равно $$\nu=\nu_{1}+\nu_{2}. \tag{9}$$ Из формул (6)-(9) определяем конечную температуру газа в сосуде $$T_{0}=\frac{2 T_{1} T_{2}}{T_{1}+T_{2}} \tag{10}$$ Поскольку процесс изобарный, то количество теплоты $Q$, которым обмениваются газы $$Q=C_{P} \nu_{1}\left(T_{0}-T_{1}\right)=\frac{7}{2} P_{0} V_{0} \cdot \frac{T_{2}-T_{1}}{T_{1}+T_{2}}=70.0~Дж\tag{11}$$ где $$C_{p}=C_{V}+R. \tag{12}$$
При возвращении перегородки в исходное положение работа внешних сил будет минимальна, если процесс перемещения будет медленным, квазиравновесным без нарушения теплового равновесия между частями сосуда $$T_1'=T_2'=T,\tag{1}$$ то есть в отличие от предыдущего случая в обеих частях сосуда одинаковым будет не давление, а температура, которая тем не менее будет изменяться.
Начальные объемы каждой из частей сосуда определяются законом Гей-Люссака и равны $$ V_{01}=\frac{V_{0} T_{0}}{T_{1}}, \tag{14}$$ $$V_{02}=\frac{V_{0} T_{0}}{T_{2}}. \tag{15}$$ Обозначим давление в частях сосуда как $P_{1}$ и $P_{2}$, а соответствующие объемы – $V_{1}$ и $V_{2}$. В соответствии с уравнением состояния в произвольный момент времени должны выполняться соотношения $$ P_{1} V_{1}=\nu_{1} R T,\tag{16}$$ $$P_{2} V_{2}=\nu_{2} R T.\tag{17}$$ В данном процессе изменение внутренней энергии газа в системе равно $$d U=\nu C_{V} d T \tag{18}$$ и если газ совершает над внешними телами работу $\delta A$, то по первому началу термодинамики в условиях теплоизоляции сосуда в целом подводимое количество теплоты обращается в нуль $$\delta Q=d U+\delta A=0 \tag{19}$$ В квазистатическом процессе работа газа в целом складывается из работ газов в каждой из частей сосуда $$\delta A=P_{1} d V_{1}+P_{2} d V_{2} \tag{20}$$ Записывая $(18)-(20)$ совместно и используя уравнения $(3)$, $(6)$, $(7)$, $(9)$, $(10)$, $(14)$ и $(15)-(17)$, получаем $$\frac{5}{T_{0}} d T+\frac{T}{T_{1} V_{1}} d V_{1}+\frac{T}{T_{2} V_{2}} d V_{2}=0 \tag{21}$$ интегрирование которого дает ответ $$T_{f}=T_{0}\left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)^{\frac{T_{0}}{5 T_{1}}}\left(\frac{T_{0}}{T_{2}}\right)^{\frac{T_{0}}{5 T_{2}}}=290~К.\tag{22}$$ Работа, совершаемая внешними силами над перегородкой для ее перемещения противоположна по знаку работе, совершаемой самим газом, поэтому из выражений $(16)$ и $(17)$ работа легко находится в виде $$A'=-A=\Delta U=\nu C_{V}\left(T_{f}-T_{0}\right)=5 P_{0} V_{0} \frac{T_{f}-T_{0}}{T_{0}}=4.04~ Дж.\tag{23}$$
Альтернативное решение
Процесс возвращения перегородки в исходное положение адиабатический, т.е. происходит без изменения энтропии
$$S=\operatorname{const}\tag{24}$$Полное изменение энтропии идеального газа в обеих частях сосуда равно:
$$\Delta S=\nu_{1} C_{V} \ln \frac{T_{f}}{T_{0}}+\nu_{1} R \ln \frac{V_{0}}{V_{01}}+\nu_{2} C_{V} \ln \frac{T_{f}}{T_{0}}+\nu_{2} R \ln \frac{V_{0}}{V_{02}}=0 \tag{25}$$откуда, используя $(6)$, $(7)$, $(10)$, $(14)$, $(15)$ получаем конечную температуру системы
$$T_{f}=T_{0}\left(\frac{T_{0}}{T_{1}}\right)^{\frac{T_{0}}{5 T_{1}}}\left(\frac{T_{0}}{T_{2}}\right)^{\frac{T_{0}}{5 T_{2}}}=290~К. \tag{26}$$Работа внешней силы расходуется на изменение внутренней энергии газа:
$$A'=\Delta U=\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right) C_{V}\left(T_{f}-T_{0}\right)=5 P_{0} V_{0} \frac{T_{f}-T_{0}}{T_{0}}=4.04~Дж.\tag{27}$$