Мощность аккумуляторной батареи расходуется на механическую работу по подъёму груза, а также на мощность тепловых потерь на внутреннем сопротивлении батареи $r$ и на омическом сопротивлении $R$ обмотки двигателя. Если крутящий момент, необходимый для равномерного подъёма груза массы $m_{1}=m$ равен $M$ и вал при этом вращается с угловой скоростью $\omega_{1}=\varphi / t_{1}$, где $\varphi$ – угол поворота вала при подъёме груза на высоту $h$, то по закону сохранения энергии:
$$U I=M \omega_{1}+I^{2}(r+R) \tag{1}$$где $U$ – ЭДС аккумулятора, $I$ – сила тока, создающего необходимый для подъёма груза массы $m$ крутящий момент.
С учётом пропорциональности крутящего момента силе тока
$$M=\alpha I, \tag{2}$$где $\alpha$ – коэффициент пропорциональности, уравнение (1) перепишется в виде
$$U=\alpha \omega_{1}+I(r+R) \tag{3}$$Очевидно, что для равномерного подъёма груза массой $m_{2}=2 m$ потребуется вдвое больший крутящий момент и, соответственно, вдвое больший ток. Если при этом скорость вращения вала равна $\omega_{2}=\frac{\varphi}{t_{2}}$, где $t_{2}=t_{1}+\Delta t$ – время подъёма груза $m_{2}$, то соответствующее уравнение имеет вид:
$$U=\alpha \omega_{2}+2 I(r+R) \tag{4}$$Для равномерного подъёма груза массой $m_{n}=n m$ необходимый ток равен $I_{n}=n I$. Если этот груз поднимается за время $t_{n}$ со скоростью $\omega_{n}=\frac{\varphi}{t_{n}}$, то соответствующее уравнение выглядит так:
$$U=\alpha \omega_{n}+n I(r+R) \tag{5}$$Из уравнений (3)-(5) $\omega_{n}$ легко выражается через $\omega_{1}, \omega_{2}$:
$$\omega_{n}=(n-1) \omega_{2}-(n-2) \omega_{1}, \tag{6}$$откуда время подъёма груза массой $m_{n}$ равно
$$t_{n}=\frac{t_{1} t_{2}}{(n-1) t_{1}-(n-2) t_{2}}=\frac{t_{1} t_{2}}{t_{2}-(n-1) \Delta t} . \tag{7}$$Из условия
$$t_{n}>0, \tag{8}$$находим, что $n<\frac{t_{2}}{\Delta t}+1$, а это означает, что количество грузов $n$ не должно превышать
$$n_{\max }=\left[\frac{t_{2}}{\Delta t}+1\right]=\left[\frac{t_{1}+2 \Delta t}{\Delta t}\right]=[10.6 \ldots]=10. \tag{9}$$