Pho.rs: Точки Лагранжа

Условие

Edu

ZH24

Задача двух тел

Рассмотрим задачу двух тел. Два массивных тела, масса одного из них которых равна $m_{1}$, а второго $-~m_{2}< m_{1}$, движутся только под действием силы гравитационного взаимодействия по круговым орбитам вокруг общего центра масс $C$. Расстояние между телами остается неизменным и равным $R_{0}$.

1 Найдите радиусы траекторий тел $R_{1}$ и $R_{2}$. Ответ выразите через величины $R_{0}, m_{1}, m_{2}$.

2 Найдите угловую скорость движения тел $\omega_{0}$. Ответ выразите через величины $R_{0}, m_{1}, m_{2}$ и гравитационную постоянную $G$.

Точки Лагранжа в системе трех тел.

Точки Лагранжа, точки либрации (лат. librātiō - раскачивание) или L-точки - точки в пространстве системы двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействия никаких других сил, кроме гравитационных со стороны двух первых, может оставаться неподвижным относительно этих тел.

Добавим в рассмотренную выше систему третье тело, масса которого $m_{0}$ значительно меньше масс первых двух тел, $m_{0} \ll m_{1}, m_{2}$. Введем ось $X$, вдоль прямой, проходящей через тела $m_{1}, m_{2}$, как показано на рисунке. Начало отсчета совместим с центром масс $C$. Для упрощения математических преобразований используйте следующие величины:

в качестве единицы длины используйте расстояние $R_{0}$ между телами $m_{1}, m_{2}$; положение малого тела определяется безразмерной координатой $x=X / R_{0}$, которая может изменяться от минус до плюс бесконечности.
в качестве единицы силы используйте величину $F_{0}=m_{0} \omega_{0}^{2} R_{0}$
введем безразмерный параметр $\mu=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.

3 Получите точное уравнение для определения координат $x$ точек Лагранжа, лежащих на оси $X$. В это уравнение, помимо искомой координаты $x$, должен входить только параметр $\mu$.

4 Постройте схематический график зависимости проекции на ось $X$ силы $F_{x}$, действующей на малое тело со стороны двух массивных тел при $\mu=0.20$. Ответ выразите через относительные единицы $f_{x}=F_{x} / F_{0}$ и $x=X / R_{0}$.

5 Определите возможное число точек Лагранжа, которые существуют на оси $X$.

6 Рассчитайте численные значения координат этих точек с погрешностью, не превышающей $\Delta x=0.05$, если $\mu= 0.20$ .

Докажите, что точка, лежащая в вершине правильного треугольника, построенного на отрезке $m_{1}, m_{2}$, является точкой Лагранжа.

Точки Лагранжа в Солнечной системе.

Для расчетов используйте следующие численные значения астрономических величин: масса Солнца $M_{1}=1.99 \cdot 10^{30}~кг$; масса Земли $M_{2}=5.97 \cdot 10^{24}~кг$; орбиту Земли можно считать окружностью с радиусом $R_{0}=1.50 \cdot 10^{8}~км$; период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет $11.9$ земных года. SOHO – космический аппарат для наблюдения за Солнцем, совместный проект ЕКА и НАСА, который был запущен 2 декабря 1995 года и приступил к работе в мае 1996 года. Аппарат находится на прямой, соединяющей Солнце и Землю, его положение относительно Земли остается практически неизменным с течение времени.

8 Определите, на каком расстоянии $l_{S}$ от Земли находится аппарат SOHO. Формулу выразите через отношение масс Земли и Солнца и радиус земной орбиты, Рассчитайте численное значение этого расстояния.

25 декабря 2021 года с космодрома Куру при помощи ракеты «Ариан-5» был успешно запущен космический аппарат, снабженный инфракрасным телескопом «Джеймс Уэбб». В январе 2022 года этот аппарат вышел в точку своей постоянной дислокации. Положение телескопа будет оставаться практически неизменным относительно Земли, причем все время он будет находиться в тени Земли.

9 Определите, на каком расстоянии $l_{W}$ от Земли находится телескоп «Джеймс Уэбб». Формулу выразите через отношение масс Земли и Солнца и радиус земной орбиты, Рассчитайте численное значение этого расстояния.

Малые планеты, называемые астероидами, распределены в Солнечной системе крайне неравномерно: помимо известного пояса астероидов, расположенного между орбитами Марса и Юпитера, имеются две большие группы астероидов, движущиеся вблизи орбиты Юпитера. Эти группы астероидов называют «троянскими».

10 Рассчитайте расстояния $l_{J}$ от Юпитера до центров групп троянских астероидов.