Pho.rs: Точки Лагранжа

1 ^?? Найдите радиусы траекторий тел $R_{1}$ и $R_{2}$. Ответ выразите через величины $R_{0}, m_{1}, m_{2}$.

1 $R_{1}+R_{2}=R_{0}$	0.10
2 $m_{1} R_{1}=m_{2} R_{2}$	0.10
3 $R_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} R_{0}$	0.10
4 $R_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} R_{0}$	0.10

2 ^?? Найдите угловую скорость движения тел $\omega_{0}$. Ответ выразите через величины $R_{0}, m_{1}, m_{2}$ и гравитационную постоянную $G$.

1 $m_{1} \omega_{0}^{2} R_{1}=G \frac{m_{1} m_{2}}{R_{0}^{2}}$	0.10
2 $\omega_{0}=\sqrt{G \frac{m_{1}+m_{2}}{R_{0}^{3}}}$	0.10

3 ^?? Получите точное уравнение для определения координат $x$ точек Лагранжа, лежащих на оси $X$. В это уравнение, помимо искомой координаты $x$, должен входить только параметр $\mu$.

1 $F_{x}=-G \frac{m_{0} m_{1}}{\left\|X+R_{1}\right\|^{3}}\left(X+R_{1}\right)-G \frac{m_{0} m_{1}}{\left\|X-R_{2}\right\|^{3}}\left(X-R_{2}\right)$	0.50
2 $f_{x}=-\frac{1-\mu}{\|x+\mu\|^{3}}(x+\mu)-\frac{\mu}{\|x-1+\mu\|^{3}}(x-1+\mu)$	0.50
3 $-m_{0} \omega_{0}^{2} X=F_{x}$	0.50
4 $-x=-\frac{1-\mu}{\|x+\mu\|^{3}}(x+\mu)-\frac{\mu}{\|x-1+\mu\|^{3}}(x-1+\mu)$	0.50

4 ^?? Постройте схематический график зависимости проекции на ось $X$ силы $F_{x}$, действующей на малое тело со стороны двух массивных тел при $\mu=0.20$. Ответ выразите через относительные единицы $f_{x}=F_{x} / F_{0}$ и $x=X / R_{0}$.

1 Положение вертикальных асимптот на графике	0.20
2 3 ветви графика	3 × 0.20

5 ^?? Определите возможное число точек Лагранжа, которые существуют на оси $X$.

1 На графике добавлена прямая $f_{x}=-x$	0.20
2 Указаны три точки пересечения, соответствуют 3 точкам Лагранжа	0.10

6 ^?? Рассчитайте численные значения координат этих точек с погрешностью, не превышающей $\Delta x=0.05$, если $\mu= 0.20$ .

1 указано положение	3 × 0.10
2 найдено численное значение	3 × 0.20

7 ^??

Докажите, что точка, лежащая в вершине правильного треугольника, построенного на отрезке $m_{1}, m_{2}$, является точкой Лагранжа.

1 $\vec{F}=G \frac{m_{0} m_{1}}{R_{0}^{3}} \overrightarrow{r_{1}}+G \frac{m_{0} m_{2}}{R_{0}^{3}} \overrightarrow{r_{2}}$	0.20
2 $m_{1} \overrightarrow{r_{1}}+m_{2} \overrightarrow{r_{2}}=\left(m_{1}+m_{2}\right) \overrightarrow{r_{C}}$	0.20
3 $m_{0} \omega^{2} r_{C}=G \frac{m_{0}}{R_{0}^{3}}\left(m_{1}+m_{2}\right) r_{C}$	0.30
4 $\omega=\sqrt{G \frac{m_{1}+m_{2}}{R_{0}^{3}}}=\omega_{0}$	0.30

8 ^?? Определите, на каком расстоянии $l_{S}$ от Земли находится аппарат SOHO. Формулу выразите через отношение масс Земли и Солнца и радиус земной орбиты, Рассчитайте численное значение этого расстояния.

1 $\mu=3.00 \cdot 10^{-6}$	0.20
2 $1-\mu-z=\frac{1-\mu}{(1-z)^{2}}-\frac{\mu}{z^{2}}$	0.20
3 $l_{S}=R_{0} \sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}$	0.70
4 $l_{S}=1.50 \cdot 10^{6}~ км$	0.50

9 ^?? Определите, на каком расстоянии $l_{W}$ от Земли находится телескоп «Джеймс Уэбб». Формулу выразите через отношение масс Земли и Солнца и радиус земной орбиты, Рассчитайте численное значение этого расстояния.

1 $1+z=\frac{1}{(1+z)^{2}}+\frac{\mu}{z^{2}}$	0.20
2 $l_{W}=R_{0} \sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}$	0.70
3 $l_{W}=1.50 \cdot 10^{6}~км$	0.50

10 ^?? Рассчитайте расстояния $l_{J}$ от Юпитера до центров групп троянских астероидов.

1 $l_{J}=R_{0}\left(\frac{T_{J}}{T_{0}}\right)^{2 / 3}$	1.00
2 $l_{J}=7.82 \cdot 10^{8}~км$	0.40

Точки Лагранжа

Разбалловка