Радиусы орбит тел равны расстояниям от тел до центра масс и определяются из уравнений
$$ R_{1}+R_{2}=R_{0} \tag{1}$$$$m_{1} R_{1}=m_{2} R_{2} \tag{2}$$откуда находим искомые радиусы траекторий
$$ R_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} R_{0}, \tag{3}$$$$R_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} R_{0}. \tag{4}$$

Для расчета угловой скорости вращения тел $\omega_{0}$ запишем уравнение второго закона Ньютона для одного из тел, например для первого, в виде
$$m_{1} \omega_{0}^{2} R_{1}=G \frac{m_{1} m_{2}}{R_{0}^{2}} \tag{5}$$которое с учетом (3) дает
$$\omega_{0}=\sqrt{G \frac{m_{1}+m_{2}}{R_{0}^{3}}}. \tag{6}$$

Выражение для проекции силы, действующей на малое тело $m_{0}$, следует из закона всемирного тяготения Ньютона, который с учетом направления сил дает
$$F_{x}=-G \frac{m_{0} m_{1}}{\left|X+R_{1}\right|^{3}}\left(X+R_{1}\right)-G \frac{m_{0} m_{1}}{\left|X-R_{2}\right|^{3}}\left(X-R_{2}\right). \tag{7}$$С учетом безразмерных соотношений, приведенных в условии, получим выражение для проекции силы в относительных единицах
$$f_{x}=-\frac{1-\mu}{|x+\mu|^{3}}(x+\mu)-\frac{\mu}{|x-1+\mu|^{3}}(x-1+\mu).\tag{8}$$Уравнение второго закона Ньютона для малого тела имеет вид
$$-m_{0} \omega_{0}^{2} X=F_{x}, \tag{9}$$обезразмерив которое на заданные величины, получим требуемое уравнение для определения координаты $x$
$$-x=-\frac{1-\mu}{|x+\mu|^{3}}(x+\mu)-\frac{\mu}{|x-1+\mu|^{3}}(x-1+\mu).\tag{10}$$

Для построения графика функции (8) достаточно построить графики функций описывающих притяжение к телу $m_{1}$ (две ветви с асимптотой при $x=-0.2$ – график 1 на рисунке) и притяжение к телу $m_{2}$ (две ветви с асимптотой при $x=0.8$ – график 2 на рисунке) и просуммировать их (кривая 3 на рисунке). Этот график имеет три ветви.

Ответ:

На построенном графике проведем прямую, описываемую уравнением $f_{x}=-x$. Координаты точек пересечения этой прямой с графиком зависимости $f_{x}(x)$ являются действительными корнями уравнения (10), т.е. являются координатами точек Лагранжа, лежащих на оси $X$. Как следует из проведенного построения таких точек ровно $3.$

Уравнение (10) является уравнением пятой степени, поэтому не может быть решено аналитически. Однако по условию требуется рассчитать численные значения с невысокой погрешностью. Для этого достаточно подсчитать численные значения силы, действующей на малое тело, с шагом изменения $x$, равным $0.1$, и определить интервал, в котором находится соответствующий корень.

Рассчитаем значение координаты точки Лагранжа $L_{1}$, находящейся между телами $m_{1}$ и $m_{2}$. Для этой точки уравнение (10) можно переписать в виде
$$x=\frac{1-\mu}{(x+\mu)^{2}}-\frac{\mu}{(1-\mu-x)^{2}}. \tag{11}$$В Таблице ниже приведены значения левой и правой частей уравнения (11) при $\mu=0.20$

Из таблицы следует, что корень уравнения лежит в интервале от $0.4$ до $0.5$ , т.е.
$$x_{1} \approx 0.45. \tag{12}$$Для координаты точки $L_{2}$, лежащей за телом $m_{2}$, имеем уравнение
$$x=\frac{1-\mu}{(x+\mu)^{2}}+\frac{\mu}{(x-1+\mu)^{2}}, \tag{13}$$а в следующей таблице рассчитаны значения левой и правой частей этого уравнения

Из данных этой таблицы следует, что корень этого уравнения лежит в интервале между $1.2$ и $1.3$, т.е.

$$x_{2} \approx 1.25 \tag{14}$$

Наконец, для точки $L_{3}$, лежащей за телом $m_{1}$ имеем уравнение (здесь изменено направление оси)

$$x=\frac{1-\mu}{(x-\mu)^{2}}+\frac{\mu}{(1-\mu+x)^{2}}, \tag{15}$$

а в следующей таблице приведены результаты аналогичных расчетов

из которых следует, что корень уравнения (15) лежит в интервале от $1.0$ до $1.1$ , а, следовательно, координата точки Лагранжа $L_{3}$
$$x_{3} \approx 1.05. \tag{16}$$

Чтобы положение аппарата SOHO оставалось неизменным относительно Земли и Солнца, необходимо, чтобы он находился в точке Лагранжа $L_{1}$. Для того, чтобы определить ее положение, надо решить уравнение (11). Рассчитаем значение параметра $\mu$ для системы Солнце – Земля:
$$\mu=\frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}}=3.00 \cdot 10^{-6}. \tag{21}$$Это значение значительно меньше 1 , поэтому расстояние $l$ от аппарата до Земли значительно меньше радиуса земной орбиты. В использованной системе единиц обозначим $z=\frac{l}{R_{0}}=1-\mu-x$, тогда из уравнения (11) получим
$$1-\mu-z=\frac{1-\mu}{(1-z)^{2}}-\frac{\mu}{z^{2}}. \tag{22}$$Так как $z, \mu \ll 1$, то можно воспользоваться разложением $\frac{1}{(1-z)^{2}} \approx 1+2 z$ и в этом случае уравнение (22) существенно упрощается и из него находится $z=(\mu / 3)^{1 / 3}$, то есть искомое расстояние равно
$$l_{S}=R_{0} \sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}=1.50 \cdot 10^{6}~км.\tag{23}$$

Очевидно, что телескоп «Джеймс Уэбб» находится в точке Лагранжа $L_{2}$, поэтому для определения его положение надо решить уравнение (13), используя метод, аналогичный методу п. 8:
$$1+z=\frac{1}{(1+z)^{2}}+\frac{\mu}{z^{2}}, \tag{24}$$т.е. космический телескоп находится на таком же расстоянии от Земли (только с другой стороны):
$$l_{W}=R_{0} \sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}}=1.50 \cdot 10^{6}~км.\tag{25}$$

Если астероид случайно окажется в точке Лагранжа $L_{4}$, или симметричной ей точке $L_{5}$ для системы Юпитер-Солнце, то его положение относительно Юпитера и Солнца будет долгое время оставаться неизменным. Астероиды, находящиеся в других точках, будут постоянно изменять свое положение относительно Юпитера и Солнца. Следовательно, центры групп троянских астероидов находятся в боковых точках Лагранжа. Поэтому расстояние от Юпитера до этих точек равно расстоянию от Юпитера до Солнца. Масса Юпитера значительно меньше массы Солнца, поэтому расстояние между ними практически равно радиусу орбиты Юпитера, который можно найти, используя, третий закон Кеплера
$$l_{J}=R_{0}\left(\frac{T_{J}}{T_{0}}\right)^{2 / 3}=7.82 \cdot 10^{8}~км \tag{26}$$где $T_{0}=1$ год – период вращения Земли вокруг Солнца.

$$l_{J}=R_{0}\left(\frac{T_{J}}{T_{0}}\right)^{2 / 3}=7.82 \cdot 10^{8}~км$$