В данной задаче будет исследованы законы геометрической оптики с помощью фотодетектора, который представляет собой прибор для преобразования световой энергии в электрическую. Будем считать, что поглощающая поверхность фотодетектора является плоской и при его подключении к миллиамперметру он показывает величину тока, пропорциональную мощности поглощаемого электромагнитного излучения. Геометрическая оптика $-$ раздел оптики, изучающий законы распространения света в прозрачных средах, отражения света от зеркально-отражающих поверхностей и принципы построения изображений при прохождении света в оптических системах без учёта его волновых свойств. Основное понятие геометрической оптики - это световой луч. При этом подразумевается, что направление потока лучистой энергии (ход светового луча) не зависит от поперечных размеров пучка света. Вспомним необходимые для данной задачи законы геометрической оптики.

1 При отражении от плоской поверхности падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью в точке падения. Пусть падающий луч составляет с нормалью угол $\alpha$, а отраженный луч - угол $\beta$. Запишите соотношение между этими углами.

2 При падении света из воздуха на плоскую поверхность материала с показателем преломления $n$ падающий и преломленный лучи также лежат в одной плоскости с нормалью в точке падения. Пусть падающий луч составляет с нормалью угол $\alpha$, а преломленный луч - угол $\beta$. Запишите соотношение между этими углами.

В дальнейшем в данной задаче мы будем рассматривать только ситуации, в которых в процессах преломления света вышеупомянутые углы малы и можно пользоваться приближением параксиальной оптики.

3 Перепишите ответ к пункту 2 в случае малых углов падения и преломления.

В данной задаче в качестве источника излучения будет использоваться очень длинная тонкая цилиндрическая лампа, поверхность которой излучает одинаково по всем направлениям.

4

Пусть мощность излучения лампы со всей ее поверхности составляет $W$. Определите мощность излучения $W_{\alpha}$, сконцентрированную в плоском угле $\alpha$ как показано на рисунке.

Тонкая пластинка

Пусть описанный выше источник света освещает непрозрачный экран, в котором проделана прямоугольная щель шириной $a=5.00~см$. Лампа располагается параллельно краям щели прямо напротив ее центра на расстоянии $L=100~см$, а сразу за щелью располагается поверхность фотодетектора таким образом, что она улавливает весь световой поток, прошедший через щель. Сам фотодетектор подключен к миллиамперметру. Вдоль экрана может параллельно перемещаться тонкая прямоугольная пластина, верхний край которой параллелен краям щели, при этом материал пластинки является полупрозрачным с коэффициентом пропускания $\tau=0.500$. В отсутствии пластинки миллиамперметр показывает значение тока $I_{0}=10.0~мА$.

5 Пусть теперь $x$ – координата от центра щели до края пластинки с вертикально направленной вверх осью. Постройте график зависимости отклонения показаний миллиамперметра $\Delta I(x)$ в миллиамперметрах от начального показания $I_{0}$ от координаты $x$ в интервале от $-5.00~см$ до $5.00~см$. Явно укажите координаты всех характерных точек графика.

Толстая пластинка

Оставим схему наблюдения прежней, но заменим тонкую пластинку на толстую пластинку толщиной $d$, при этом его горизонтальная поверхность является идеально отражающим зеркалом с обеих сторон, а коэффициент преломления материала составляет $n$. Для данной части считайте числовые значения параметров $a, L, \tau$ и $I_{0}$ неизвестными. Для наглядности схема расположения показана на рисунке 1, а на рисунке 2 показаны соответствующие результаты измерений в диапазоне изменения координаты $x$ от $-3.00~см$ до $0.00~см$ и отмечены три характерные точки графика $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Здесь $\Delta I(x)$ – отклонения показаний миллиамперметра в миллиамперметрах от начального показания $I_{0}$ в отсутствии пластинки.

6 Выразите значения координаты точки $x_{1}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

7 Выразите значения координаты точки $x_{2}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

8 Выразите значение $\Delta I_{\max }$ в точке $x_{2}$ через величины $a, L, d, n, \tau$ и $I_{0}$.

9 Выразите значения координаты точки $x_{3}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

10 Найдите коэффициент наклона прямой $d \Delta I(x) / d x$ на участке правее точки $x_{3}$ и выразите его через величины $a, L, d, n, \tau, I_{0}$.

11 Исходя из графика и параметров, полученных в 6-10, определите численные значения параметров $a, n, \tau, I_{0}$, а также отношение $L / d$.

12 Исходя из полученных числовых данных, постройте правую часть графика при изменении координаты $x$ от $0.00 ~см$ до $3.00 ~см$, указав координаты всех характерных точек на графике.

Математическая подсказка для задач теоретического тура

 Вам может понадобиться знание следующих интегралов: 

$$ \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \text { где } n \neq-1-\text { константа, } C \text { - произвольная постоянная;} $$

$$ \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C, \text { где } C \text { - произвольная постоянная;} $$

$$ (1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x+\frac{\gamma(\gamma-1)}{2} x^{2}, \text { для }|x| \ll 1 \text { и любых } \gamma; $$

$$ \tan x \approx \sin x \approx x, \text { для }|x| \ll 1; $$

$$ \ln (1+x) \approx x \text {, для }|x| \ll 1. $$