1  ^?? При отражении от плоской поверхности падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью в точке падения. Пусть падающий луч составляет с нормалью угол $\alpha$, а отраженный луч - угол $\beta$. Запишите соотношение между этими углами.

2  ^?? При падении света из воздуха на плоскую поверхность материала с показателем преломления $n$ падающий и преломленный лучи также лежат в одной плоскости с нормалью в точке падения. Пусть падающий луч составляет с нормалью угол $\alpha$, а преломленный луч - угол $\beta$. Запишите соотношение между этими углами.

3  ^?? Перепишите ответ к пункту 2 в случае малых углов падения и преломления.

4  ^??

5  ^?? Пусть теперь $x$ – координата от центра щели до края пластинки с вертикально направленной вверх осью. Постройте график зависимости отклонения показаний миллиамперметра $\Delta I(x)$ в миллиамперметрах от начального показания $I_{0}$ от координаты $x$ в интервале от $-5.00~см$ до $5.00~см$. Явно укажите координаты всех характерных точек графика.

Для решения задачи построим рисунок, показанный ниже.

Здесь использованы следующие обозначения для углов, которые в случае их малости находятся из соотношений:
$$\alpha=\frac{a}{2 L}, \tag{5}$$$$\theta(x)=\frac{x}{L}. \tag{6}$$В соответствии с пунктом 4 регистрируемая детектором мощность излучения пропорциональна углу, поэтому формула для вычисления показаний миллиамперметра имеет вид
$$\Delta I(x)=I_{0}\left(\frac{\alpha-\theta(x)+\tau(\alpha+\theta(x))}{2 \alpha}-1\right)\quad при \quad-\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2}, \tag{7}$$при этом очевидно, что
$$\Delta I(x)=0 \quad при \quad x<-\frac{a}{2},$$$$\Delta I(x)=I_{0}(\tau-1) \quad при \quad x>\frac{a}{2}. \tag{9}$$График соответствующей функции представлен на рисунке ниже, при этом координаты двух характерных точек графика
$$\Delta I=0.00~мА \quad при \quad x=-2.50~см,$$$$\Delta I=-5.00~мА \quad при \quad x=2.50~см.\tag{11}$$

6  ^?? Выразите значения координаты точки $x_{1}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

Появление точки $x_{1}$ на графике связано с тем, что свет начинает дополнительно отражаться от горизонтальной части пластины, при этом ход луча от лампы до края щели показан на рисунке ниже.

7  ^?? Выразите значения координаты точки $x_{2}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

8  ^?? Выразите значение $\Delta I_{\max }$ в точке $x_{2}$ через величины $a, L, d, n, \tau$ и $I_{0}$.

Значение $\Delta I_{\max }$ в точке $x_{2}$ находится из соотношения
$$\Delta I_{\max }=I_{0}\left(\frac{\alpha+\theta}{2 \alpha}-1\right),\tag{14}$$где величина угла $\alpha$ по прежнему определяется выражением (5), а угол $\theta$ составляет
$$\theta=\frac{a}{2(L-d)}, \tag{15}$$откуда окончательно получаем
$$\Delta I_{\max }=\frac{I_{0}}{2} \frac{d}{(L-d)}, \tag{16}$$

9  ^?? Выразите значения координаты точки $x_{3}$ через величины $a, L, d, n, \tau$.

Координата $x_{3}$ определяется из условия, что преломленный в пластине луч впервые попадает в нижний край щели, ход лучей показан на рисунке ниже.

Из рисунка следует, что углы равны
$$\theta=-\frac{x_{3}}{(L-d)}, \tag{17}$$$$\gamma=\frac{\frac{a}{2}+x_{3}}{d}, \tag{18}$$при этом по закону преломления
$$\theta=n \gamma. \tag{19}$$Тогда из выражений (17)-(19), окончательно получаем
$$x_{3}=-\frac{a}{2} \frac{(L-d)}{\left(L-d\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)}. \tag{20}$$

10  ^?? Найдите коэффициент наклона прямой $d \Delta I(x) / d x$ на участке правее точки $x_{3}$ и выразите его через величины $a, L, d, n, \tau, I_{0}$.

Участок от координаты $x_{3}$ до нуля обусловлен тем, что свет частично напрямую проходит через щель, а частично попадает через пластину, преломляясь и отражаясь в ней. Ход лучей показан на рисунке ниже.

Угол $\alpha$ по-прежнему определяется выражением (5), а соответствующие углы на рисунке равны
$$ \theta=\frac{x}{(L-d)}, \tag{21}$$$$\beta=-\frac{x_{3}}{(L-d)}=\frac{a}{2\left(L-d\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)}, \tag{22}$$тогда значение $\Delta I(x)$ принимает вид
$$\Delta I(x)=I_{0}\left(\frac{\alpha-\theta+\tau(\beta+\theta)}{2 \alpha}-1\right) \tag{23}$$откуда получаем коэффициент наклона
$$\frac{d \Delta I(x)}{d x}=-I_{0} \frac{(1-\tau) L}{a(L-d)}. \tag{24}$$

11  ^?? Исходя из графика и параметров, полученных в 6-10, определите численные значения параметров $a, n, \tau, I_{0}$, а также отношение $L / d$.

Исходя из приведенного в условии графика, имеем $x_{1}=-2.50~см,~x_{2}=-2.00~см,~x_{3}=-1.75~см,~\Delta I_{\max }=10.0~мА$ и $d \Delta I(x) / d x=-1.20~мА/см$, получаем следующие значения искомых параметров
$$a=4.0~см, \tag{25}$$$$n=1.4, \tag{26}$$$$\tau=0.96, \tag{27}$$$$I_{0}=100~мА, \tag{28}$$$$L / d=6.0. \tag{29}$$

12  ^?? Исходя из полученных числовых данных, постройте правую часть графика при изменении координаты $x$ от $0.00 ~см$ до $3.00 ~см$, указав координаты всех характерных точек на графике.

Для построения полного графика установим все его характерные точки, показанные на рисунке ниже как $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$.

Координаты точек $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ были определены выше, необходимо установить координаты других характерных точек. Для этого опишем появление различных ветвей графика, постепенно продвигая пластинку от отрицательных до положительных значений.

$Координаты~~ветви~~графика$		$Физические~~процессы$
от $-\infty$ до $x_{1}$		Полное прямое попадание в щель
от $x_{1}$ до $x_{2}$		Полное прямое попадание в щель; отражение от горизонтального участка пластинки
от $x_{2}$ до $x_{3}$		Частичное прямое попадание в щель; отражение от горизонтального участка пластинки
от $x_{3}$ до $x_{4}$		Частичное прямое попадание в щель; отражение от горизонтального участка пластинки (сверху напрямую и снизу с прохождением через пластинку); прохождение через пластинку с преломлением
от $x_{4}$ до $x_{5}$		Полное прямое попадание в щель с прохождением через пластинку; отражение снизу от горизонтального участка с прохождением через пластинку
от $x_{5}$ до $x_{6}$		Полное прямое попадание в щель с прохождением через пластинку; частичное отражение снизу от горизонтального участка с прохождением через пластинку
от $x_{6}$ до $+ \infty$		Полное прямое попадание в щель с прохождением через пластинку

Найдем координаты соответствующих характерных точек. Координата $x_{4}$ легко находится и равна
$$x_{4}=\frac{a}{2} \frac{L-d}{L}=1.7~см\tag{30}$$а показания миллиамперметра определяются выражением
$$\Delta I_{4}=I_{0}\left(\frac{\tau(\alpha+\beta)}{2 \alpha}-1\right)=-1.9~мА\tag{31}$$Координата точки $x_{5}$ равна
$$x_{5}=\frac{a}{2}=2.0~см\tag{32}$$а показания миллиамперметра определяются выражением
$$\Delta I_{5}=I_{0}\left(\frac{\tau\left(\alpha+\frac{a}{2(L-d)}\right)}{2 \alpha}-1\right)=7.7~мА \tag{33}$$Углы, обозначенные на рисунке равны
$$\delta=\frac{x_{6}}{L-d}, \tag{34}$$$$\varphi =\frac{x_{6}-\frac{a}{2}}{d} \tag{35}$$и связаны соотношением
$$\delta=n \varphi \tag{36}$$Таким образом, координата точки $x_{6}$ равна
$$x_{6}=\frac{a}{2} \frac{(L-d)}{\left(L-d\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)}=2.4~см\tag{37}$$а показания миллиамперметра определяются выражением
$$\Delta I_{6}=I_{0}\left(\frac{\tau(\alpha+\delta)}{2 \alpha}-1\right)=0.24~мА\tag{38}$$Полный график зависимости показан на рисунке ниже.