1  ^?? Определите период $T$ малых свободных колебаний шариков.

Период колебаний каждого из шариков $T=2 \pi \sqrt{l / g}=2.0~с$.

2  ^?? К точкам крепления проволок подключают источник напряжения $U$ с большим внутренним сопротивлением $R=10^{15}~Ом$. При каком значении $U=U_{min}$ шарики столкнуться через некоторое время?

При подключении источника напряжения шарики зарядятся, обозначим их заряды $\pm q$. Поскольку $r \ll d$, шарики можно считать точечными зарядами. Пусть шарики сблизились, при этом каждая из проволок отклонилась от вертикали на небольшой угол $\alpha$. Для малых углов верно $\sin \alpha \approx \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha$. Сила кулоновского притяжения
$$
F_{q}=k q^{2} /(d-2 \alpha l)^{2}
$$
уравновешивается равнодействующей сил тяжести и натяжения проволок $F_{p}=m g \alpha$:
$$
k \frac{q^{2}}{(d-2 \alpha l)^{2}}=m g \alpha \quad \rightarrow \quad k \frac{q^{2}}{m g}=\alpha(d-2 \alpha l)^{2}.
$$
Функция $f(\alpha)=\alpha(d-2 \alpha l)^{2}$ имеет максимум при $\alpha_{0}=d /(6 l)$. Этому значению соответствует максимальное значение заряда шариков:
$$
k q_{\max }^{2}=m g \alpha_{0}\left(d-2 \alpha_{0} l\right)^{2}=\frac{2 m g d^{3}}{27 l} \quad \rightarrow \quad q_{\max }=\sqrt{\frac{2 m g d^{3}}{27 k l}}.
$$
Для отклонения шариков на угол $\alpha>\alpha_{0}$, вплоть до столкновения, требуется меньший заряд, а значит, при сколь угодно незначительном превышении $q_{\max }$ шарики под действием кулоновского взаимодействия достаточно быстро притянутся и, взаимно разрядившись, вновь разойдутся, пока вновь не приобретут необходимый для столкновения критический заряд $q_{\max }$. Разность потенциалов между шариками при $q=q_{\max }$ равна минимальному значению напряжения источника, при котором шарики столкнутся:
$$
U_{\min }=\varphi_{+}-\varphi_{-}=k \frac{q_{\max }}{r}-\left(-k \frac{q_{\max }}{r}\right)=2 \sqrt{\frac{2 k m g d^{3}}{27 l r^{2}}}=64.6~кВ.
$$

3  ^?? Найдите время $t_0$, через которое разность потенциалов между шариками достигнет значения $U_{min}$, если $U=U_0=1.0 \cdot 10^6~В$.

Поскольку $U_{\min } \ll U_{0}=1.0 \cdot 10^{6}~В$, ток заряда можно считать постоянным и равным $I=U_{0} / R$, а время зарядки шариков до значения $q_{\max }$ можно рассчитать по формуле
$$
t_{0}=\frac{q_{\max }}{I}=\frac{U_{\min } r}{2 k} \frac{R}{U_{0}}=18~с.
$$