Описанные в эксперименте продольные и крутильный колебания маятника в приближении малых углов являются его собственными колебаниями (модами), поэтому их можно рассматривать независимо друг от друга.
В приближении малых углов периоды этих колебаний даются формулами \begin{align*} & T_{0}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \tag{1}\\ & T_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{4 L I}{m g a^{2}}}, \tag{2} \end{align*} где $m=m_{0}+2 m_{1}$ – масса маятника, $m_{0}$ – масса стержня, $m_{1}$ – масса гайки, $I=\dfrac{m_{0} l^{2}}{12}+2 m_{1} z^{2}$ – момент инерции стержня с гайками. Формулы $(1)$ и $(2)$ фактически используются в работе, но вывод их не требуется и в дальнейшем не оценивается.
Конец стержня описывает траектории, соответствующие сложению перпендикулярных колебаний с близкими частотами. Их также можно представить, как сложение колебаний с равными частотами, но с медленно изменяющейся разностью фаз между ними. Изображения этих наиболее типичных траекторий показаны на рисунке ниже.
В выражении $y(t)$ для близких частот величину $\Delta \varphi=\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) t$ можно рассматривать как медленно изменяющуюся разность фаз между колебаниями с близкими частотами.
Очевидно, что форма траектории возвратится к начальной, если разность фаз изменится на величину $\pm 2 \pi$. Таким образом, период цикла $T_{C}$ подчиняется условию\begin{equation*}
\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right) T_{C}= \pm 2 \pi. \tag{7}
\end{equation*}откуда следует\begin{equation*}
T_{C}=\frac{T_{0} T_{1}}{\left|T_{0}-T_{1}\right|} . \tag{8}
\end{equation*}
Число колебаний продольных колебаний в цикле можно записать в виде:\begin{equation*}
N_{C}=\frac{T_{C}}{T_{0}}=\frac{T_{1}}{\left|T_{0}-T_{1}\right|} . \tag{9}
\end{equation*}
Для повышения точности измерения нужно проводить измерения времен достаточно большого числа колебаний, в наших экспериментах проведены измерения времени $20$ периодов колебаний $t_{20}$. Для оценки случайной погрешности эти измерения проведены $10$ раз, а их результаты приведены в таблице 1.
Таблица 1. Измерение периода продольных колебаний
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $t_{20},~с$ | $26.39$ | $26.32$ | $26.51$ | $26.40$ | $26.46$ | $26.41$ | $26.34$ | $26.22$ | $26.55$ | $26.53$ |
Среднее значение времени $20$ колебаний составляет $\left\langle t_{20}\right\rangle=26.41 ~с$.
А приборная погрешность равна половине цены деления секундомера $\Delta t_{1}=0.5 \cdot 10^{-3} ~с$.
Случайная погрешность рассчитывается по формуле $\Delta t_{2}=2 \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}\left(t_{20, i}-\left\langle t_{20}\right\rangle\right)^{2}}{n(n-1)}}=6.5 \cdot 10^{-2} ~с$.
Полная погрешность измерения времени равна $\Delta t=\sqrt{\Delta t_{1}^{2}+\Delta t_{2}^{2}}=0.066 ~с$.
Таким образом, период продольных колебаний равен:\begin{equation*}T_{0}=\frac{t_{20}}{20}=(1.321 \pm 0.003) с . \tag{10}\end{equation*}
В таблице 2 приведены значения результатов измерений периодов крутильных колебаний при различных значениях расстояния между нитями $a$. В этой же таблице приведены результаты расчетов для определения показателя степени $q$.
Таблица 2. Зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между нитями
| $a,~см$ | $t_{10},~с$ | $T_1,~с$ | $\ln a$ | $\ln T_1$ |
| $4.8$ | $59.11$ | $5.911$ | $1.5686$ | $1.7768$ |
| $6.3$ | $44.62$ | $4.462$ | $1.8405$ | $1.4956$ |
| $7.8$ | $36.31$ | $3.631$ | $2.0541$ | $1.2895$ |
| $9.4$ | $29.66$ | $2.966$ | $2.2407$ | $1.0872$ |
| $11.0$ | $25.60$ | $2.560$ | $2.3979$ | $0.9400$ |
| $12.2$ | $23.32$ | $2.332$ | $2.5014$ | $0.8467$ |
| $13.8$ | $20.46$ | $2.046$ | $2.6247$ | $0.7159$ |
| $16.0$ | $17.66$ | $1.766$ | $2.7726$ | $0.5687$ |
| $18.2$ | $15.82$ | $1.582$ | $2.9014$ | $0.4587$ |
| $20.5$ | $13.87$ | $1.387$ | $3.0204$ | $0.3271$ |
| $24.0$ | $11.98$ | $1.198$ | $3.1781$ | $0.1807$ |
Соответствующий график зависимости имеет вид:
Оптимальным и наиболее распространенным способом определения показателя степени является построение графика в двойном логарифмическом масштабе. Из формулы $(1)$, приведенной в условии задачи следует, что:\begin{equation*}
\ln T=C+q \ln a, \tag{11}
\end{equation*}поэтому коэффициент наклона графика равен показателю степени. Этот график показан на рисунке ниже.
Полученная зависимость является линейной с коэффициентом наклона, очень близким к $(-1)$. Альтернативными способами является построение зависимостей $T_{1}\left(a^{-1}\right)$, или $T_{1}^{-1}(a)$. Однако, в этих способах необходимо доказать, что построенные графики являются прямыми линиями, проходящими через начало координат.
Все эти способы обоснованно свидетельствуют, что искомый показатель степени равен $(-1)$, т.е. период крутильных колебаний обратно пропорционален расстоянию между нитями.
Результаты измерений зависимости периода крутильных колебаний от положения гаек приведены в таблице 3. В этой же таблице приведены результаты расчетов, необходимые для построения линеаризованного графика.
Таблица 3. Измерения периода крутильных колебаний
| $z,~см$ | $t_{20},~с$ | $T_1,~с$ | $z^2$ | $T_1^2$ | $U$ | |
| $6$ | $44.58$ | $2.229$ | $36$ | $4.968$ | $284.9$ | |
| $7$ | $45.75$ | $2.288$ | $49$ | $5.233$ | $300.0$ | |
| $8$ | $46.83$ | $2.342$ | $64$ | $5.483$ | $314.3$ | |
| $9$ | $47.87$ | $2.394$ | $81$ | $5.729$ | $328.5$ | |
| $10$ | $49.17$ | $2.459$ | $100$ | $6.044$ | $346.5$ | |
| $11$ | $50.84$ | $2.542$ | $121$ | $6.462$ | $370.5$ | |
| $12$ | $52.15$ | $2.608$ | $144$ | $6.799$ | $389.8$ | |
| $13$ | $53.47$ | $2.674$ | $169$ | $7.148$ | $409.8$ | |
| $14$ | $54.85$ | $2.743$ | $196$ | $7.521$ | $431.2$ | |
| $15$ | $56.91$ | $2.846$ | $225$ | $8.097$ | $464.2$ |
График этой зависимости показан на рисунке ниже. Видно, что полученная зависимость является нелинейной.
Из формул $(1)-(2)$, приведенных в условии, и результата предыдущего пункта следует, что период крутильных колебаний описывается формулой\begin{equation*}
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\frac{\sqrt{A+B z^{2}}}{a}. \tag{12}
\end{equation*}линеаризация которой очевидна и имеет вид\begin{equation*}
\left(a \frac{T_{1}}{T_{0}}\right)^{2}=A+B z^{2}. \tag{13}
\end{equation*}Величина $U=\left(a \dfrac{T_{1}}{T_{0}}\right)^{2}$ линейно зависит от $z^{2}$, а график линеаризованной зависимости показан на рисунке ниже.
Коэффициенты этой зависимости, рассчитанные по методу наименьших квадратов, равны:\begin{equation*}
A=(254 \pm 4) {см}^{2} \tag{14}
\end{equation*}\begin{equation*}
B=0.93 \pm 0.03 \tag{15}
\end{equation*}
В таблице 4 приведены результаты измерений и расчетов, необходимых для проверки теоретической формулы $(9)$.
Таблица 4. Изучение смешанных колебаний
| $z,~см$ | $T_1,~с$ | $T_0/T_1$ | $N_{C}^{\mathrm{th}}$ | $N_{C}^{\mathrm{exp}}$ | $1/N_C$ |
| $10.5$ | $1.247$ | $1.059$ | $17$ | ||
| $11.0$ | $1.264$ | $1.045$ | $22$ | $24$ | $0.042$ |
| $11.5$ | $1.282$ | $1.030$ | $33$ | $35$ | $0.029$ |
| $12.0$ | $1.301$ | $1.015$ | $65$ | ||
| $12.5$ | $1.319$ | $1.002$ | $660$ | ||
| $13.0$ | $1.339$ | $0.987$ | $74$ | $60$ | $0.017$ |
| $13.5$ | $1.359$ | $0.972$ | $36$ | $33$ | $0.030$ |
| $14.0$ | $1.379$ | $0.958$ | $24$ | $21$ | $0.048$ |
| $14.5$ | $1.400$ | $0.944$ | $18$ | $16$ | $0.063$ |
| $15.0$ | $1.421$ | $0.930$ | $14$ | $13$ | $0.077$ |
В этой таблице: $T_{1}$ – рассчитанные по формуле $(12)$ значения периодов крутильных колебаний; $N_{C}$ – рассчитанные и измеренные значения числа периодов в цикле.
Для проверки формулы $(9)$ построен график зависимости величины обратной числу колебаний $\dfrac{1}{N_{C}}$ от величины $\dfrac{T_{0}}{T_{1}}$, которая теоретически описывается формулой $\dfrac{1}{N_{C}}=\left|\dfrac{T_{0}}{T_{1}}-1\right|$. График этой зависимости, построенный по экспериментальным данным, показан на рисунке ниже.
Этот график, а также сравнение рассчитанных и измеренный значений $N_{C}$, подтверждают теоретические выводы.