A1  ^0.70 Измерьте последовательность $t_n$ для $n\in\{1,3,5,7,9,11\}$ при $s=2~см$. Постройте график зависимости $t_n(n)$.

A2  ^0.10 Выразите углы $\beta$ и $\varphi$ через геометрические параметры $s$, $h$, $\alpha$.

A3  ^2.50 Выразите $\Omega_0$ через $g,h,k, \alpha, s$ в установившейся волне падающих домино. Учтите, что в момент удара мгновенные силы реакции возникают во всех точках контакта костяшек друг с другом и с поверхностью.

Условие кинематической связи сразу после удара:
\[(\vec{v}_M\cdot\vec{e}_x)=(\vec{v}_N\cdot\vec{e}_x)\]Подставив $\vec{v}_M = \left[\vec{\Omega}_a\times \vec{r}_M\right]$, $\vec{v}_N = \left[\vec{\Omega}_0\times \vec{r}_N\right]$, получим:
\[\Omega_0 y = \Omega_a y \Rightarrow \Omega_0=\Omega_a\]

С энергетической точки зрения система в моменты времён $t_n$ и $t_{n+1}$ отличается тем, что одна покоящаяся костяшка перемещается в начало ряда. Исходя из этого можно записать изменение потенциальное энергии: $\Delta \Pi = \dfrac{mgh}{2}\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right)$

Запишем закон сохранения энергии, с учётом кинематической связи:
\[\dfrac{I\Omega_b^2}{2} =2\cdot \dfrac{I\Omega_0^2}{2}+\dfrac{mgh}{2}\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right),\]где $I= mh^2(1+\alpha^2)/3$ — момент инерции костяшки относительно оси вращения. Подставив $\Omega_b=k\Omega_0$, получим:
\[(k^2-2)\Omega_0^2=\dfrac{3g\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right)}{h(1+\alpha^2)}\]

B1  ^4.30 Проведите необходимые измерения и получите значения $c$ для не менее чем 10 разных $s/h$.

Укажите погрешность найденных $c$.

Скорость распространения волны $c$ равна:

\[c=\dfrac{s}{\mathrm{d}t_n/\mathrm{d}n}\]

При расчёте $\mathrm{d}t_n/\mathrm{d}n$ должны использоваться такие $n$, при которых зависимость $t_n(n)$ линейна. Но при этом количество использованных точек при расчёте $\mathrm{d}t_n/\mathrm{d}n$ должно быть не менее 4-х.

$s,~ см$								$\mathrm{d}t_n/\mathrm{d}n, ~мс$	$c,~м/с$
1.0	$n$	7	9	11	12	14	16	9.55	1.047
	$t_n,~мс$	0	30	57.6	76.8	96	115
1.2	$n$	4	6	8	10	12	14	14.30	0.839
	$t_n,~мс$	0	47	91	112	149	174
1.7	$n$	10	11	12	13	14	15	15.80	1.076
	$t_n,~мс$	0	14	33.6	43.6	63.2	79.2
2.0	$n$	8	9	10	11	12	13	19.00	1.053
	$t_n,~мс$	0	27.2	47.2	62.4	85.6	103
2.3	$n$	6	7	8	9	11	12	23.90	0.962
	$t_n,~мс$	0	35.6	62.4	80.4	128	158
2.5	$n$	3	5	6	7	8	9	27.10	0.923
	$t_n,~мс$	0	62	88	115.6	142.8	170
2.7	$n$	4	6	7	8	9	10	31.30	0.863
	$t_n,~мс$	0	63	91	125	152	189
3.0	$n$	2	3	4	5	6	7	50.60	0.652
	$t_n,~мс$	0	58	116	170	210	252
3.3	$n$	3	4	5	6	7	9	41.50	0.795
	$t_n,~мс$	0	61	106	146	193	268
3.5	$n$	3	4	5	6	7	8	61.90	0.565
	$t_n,~мс$	0	58	122	188	242	310

B2  ^2.40 Постройте график зависимости $k$ от $s/h$.

Обозначим за $\tau = \mathrm{d}t/\mathrm{d}n$
\[\dfrac{s\Omega_0}{2(\beta+\varphi)}\left( 1+\dfrac{1}{k}\right) = \dfrac{s}{\tau}\]
Подставим выражение для $\Omega_0$ из пункта A3:
\[\dfrac{1}{2(\beta+\varphi)}\left( 1+\dfrac{1}{k}\right)\cdot \sqrt{\dfrac{3g\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right)}{h(1+\alpha^2)(k^2-2)}} = \dfrac{1}{\tau}\]

\[\dfrac{\tau}{2(\beta+\varphi)}\cdot\sqrt{\dfrac{3g\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right)}{h(1+\alpha^2)}}\cdot \dfrac{1+\dfrac{1}{k}}{\sqrt{k^2-2}}=1\]

Множитель слева обозначим за $u$:
\[u = \dfrac{\tau}{2(\beta+\varphi)}\cdot\sqrt{\dfrac{3g\left(1 - \sqrt{1+\alpha^2}\sin\left(\operatorname{arctg}\alpha+\arcsin \dfrac{d}{s}\right)\right)}{h(1+\alpha^2)}}\]
Тогда уравнение будет выглядеть так:
\[u(s/h) \cdot \dfrac{1+\dfrac{1}{k}}{\sqrt{k^2-2}}=1,\]
которое можно решить методом итераций. Сначала для каждого из измеренных $s$ посчитаем $u$, затем  методом итераций найдем значение $k$:

\[k = \sqrt{2+u^2\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^2}\]
 

$s,~ см$	$s/h$	$\tau,~ мс$	$\varphi, рад$	$u$	$k$
1.0	0.25	9.55	-0.024	0.659	1.753
1.2	0.3	10.8	0.027	0.576	1.686
1.7	0.425	15.80	0.155	0.538	1.657
2.0	0.5	19.00	0.234	0.530	1.651
2.3	0.575	23.90	0.316	0.562	1.675
2.5	0.625	27.10	0.373	0.575	1.685
2.7	0.675	31.30	0.431	0.603	1.707
3.0	0.75	38.80	0.523	0.653	1.748
3.3	0.825	50.60	0.621	0.749	1.828
3.5	0.875	61.90	0.693	0.843	1.910