Обычно в специальной теории относительности (СТО) рассматривают движение только относительно инерциальных систем отсчета. Однако в теории рассматриваются и тела, движущиеся с ускорениями, которые также можно рассматривать как наблюдателей, производящих измерения. Связав систему отсчета с ускоренными наблюдателями, можно получить аналоги неинерциальных систем отсчета в СТО. Возможные определения ускоренного движения и способа, которым ускоренный наблюдатель определяет координаты не однозначны. В этой задаче мы рассмотрим некоторые из таких конструкций. Для простоты будем во всей задаче рассматривать только одномерное движение вдоль оси $Ox$. Если не оговорено обратного, положения наблюдателей задаются относительно некоторой инерциальной системы отсчета (CО) с координатой $x$ и временем $t$. Как обычно в СТО, будем использовать понятие события – любого физического процесса, происходящего в заданной точке в заданный момент времени. В заданной системе отсчета в одномерном случае событие характеризуется временем $t$ и координатой $x$, которые для краткости будем иногда называть координатами события.

Часть А. Псевдорелятивистские ускоренные наблюдатели (3.2 балла)

В этой части мы не будем рассматривать никаких релятивистских эффектов, кроме конечности скорости распространения сигналов. Рассмотрим систему изначально неподвижных наблюдателей (точечных частиц), которые движутся с постоянным ускорением в нерелятивистском смысле (то есть с постоянной производной скорости по времени в заданной системе координат). Наблюдатели могут обмениваться сигналами, которые распространяются со скоростью света $c$. Задача одномерная, рассматриваем только движение вдоль оси $x$. Все координаты и времена в этой части определяются относительно фиксированной инерциальной СО. Ускорение наблюдателя зависит от его начальной координаты $d$ как $$ a(d) = \frac{a_0}{1+ 2 a_0 d/c^2}, \quad d \ge 0. $$ Такое движение не может продолжаться бесконечно долго, поскольку скорости частиц не могут превосходить скорость света.

A1  ^0.10 Найдите максимально возможное время движения $t_{\max}$. Далее будем рассматривать только движение при временах, не превосходящих $t_{\max}$.

A2  ^0.50 Покажите, что если для двух наблюдателей в начальный момент $d_1 < d_2$, то при $t< t_{\max}$ для их координат по прежнему будет выполняться $x_1(t) < x_2(t)$.

A3  ^1.00 Пусть наблюдатель 1 в момент времени $t_1$ испускает световой сигнал, а наблюдатель 2 получает его в момент времени $t_2$. Ускорения наблюдателей $a_1$ и $a_2$, начальные координаты $d_1$ и $d_2$ соответственно. Покажите, что между этими временами выполняется соотношение $$ \left(t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon \left( t_2 - \frac{c}{a_2}\right)^2, $$ если $d_2 > d_1$, и соотношение $$ \left(t_1 + \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon\left( t_2 + \frac{c}{a_2}\right)^2, $$ если $d_2 < d_1$. Выразите постоянную $\varepsilon$ через $a_1$ и $a_2$.

A4  ^1.30 Для того, чтобы измерить расстояние до другого наблюдателя, наблюдатель 1 (с начальным значением координаты $d_1$) испускает в момент времени $t_A$ луч, который достигает наблюдателя 2 (с начальной координатой $d_2> d_1$) в некоторый момент времени $t_C$, отражается и возвращается к первому наблюдателю в момент времени $t_B$ (по часам лабораторной СО). Тогда наблюдатель 1 считает. что расстояние до наблюдателя 2 равно $D_{rad} = c (t_B- t_A)/2$. Выразите это расстояние через $d_1$, $d_2$, $a_0$, $c$ и покажите, что оно не зависит от $t_A$.

A5  ^0.30 Пусть $d_1 = d$, а $d_2 = d_1 + \Delta d$, где $\Delta d \ll d$ – положительное расстояние между наблюдателями. Выразите $D_{rad}$ в первом порядке малости по $\Delta d$ через $d$, $a_0$, $c$ и $\Delta d$.

Таким образом, мы увидели, что за счет конечной скорости распространения сигналов измеряемое наблюдателями расстояние друг до друга оказывается постоянным, хотя они и движутся с разными ускорениями, и расстояние в лабораторной СО меняется.

Часть B. Радарные координаты и преобразования Лоренца (1.3 балла)

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета, с координатами $(t, x)$ движется наблюдатель, координата и время которого зависят от его собственного времени как $(t_O(\tau), x_O(\tau))$. (Собственное время – время по часам самого наблюдателя.) Для того, чтобы определить координаты и времена событий, этот наблюдатель освещает все вокруг лучами радара (излучение радара движется с постоянной скоростью $c$) и измеряет времена, когда его достигает отраженный сигнал. Пусть некоторое событие произошло в момент времени $t$, в точке с координатой $x$. Пусть $\tau_1$ – собственное время, в которое наблюдатель должен был отправить сигнал, чтобы этот сигнал достиг события, а $\tau_2$ – собственное время, в которое наблюдатель получит сигнал, испущенный в момент события. Тогда он приписывает событию время и координату $$ T = \frac{1}{2} (\tau_1 + \tau_2), \qquad X = \pm\frac{c}{2} (\tau_2 - \tau_1).$$ Знаку плюс отвечает случай, когда событие произошло справа от наблюдателя (при больших значениях координаты $x$), знак минус – слева. В этой части мы проверим, что для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью, эта конструкция воспроизводит стандартные координаты в движущейся инерциальной СО.

B1  ^0.20 Пусть наблюдатель движется относительно инерциальной системы отсчета со скоростью $v$. При этом в момент времени $t = 0$, $x = 0$. Выразите $x$, $t$ через $\tau$.

B2  ^0.70 Пусть некоторое событие произошло в точке с временем и координатой $(t, x)$. Определите для него значения собственного времени $\tau_1$, $\tau_2$. Для простоты можете провести вычисления только для случая, когда событие произошло справа от наблюдателя.

B3  ^0.40 Покажите, что определенные таким образом время и координата $(T, X)$ совпадают с временем и координатой в инерциальной СО, движущейся со скоростью $v$ относительно исходной СО.

Часть C. Ускоренные наблюдатели (5.5 баллов)

Теперь рассмотрим наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением $g$ в сопутствующей СО (инерциальной СО, в которой в данный момент времени скорость наблюдателя равна нулю).

C1  ^0.80 Покажите, что при подходящем выборе начальных условий для такого наблюдателя зависимость координаты и времени от собственного времени имеет вид $$ x = A \operatorname{ch} \alpha\tau, \qquad t = B \operatorname{sh}\alpha \tau. $$ Определите значения постоянных $A$, $B$, $\alpha$. Выразите ответ через $g$, $c$.

C2  ^1.50 Пусть в момент времени $t$ в точке с координатой $x$ произошло некоторое событие. Эти координаты $(t, x)$ можно выразить через $X$ и $T$ (определенные для наблюдателя из $\mathbf{C1}$ способом, описанным во введении к части $\mathbf{B}$) следующим образом: $$x = A f(X) \operatorname{ch} \alpha T, \qquad t = B f(X) \operatorname{sh} \alpha T, $$ где $A$, $B$, $\alpha$ – постоянные, определённые в предыдущем пункте, а $f(X)$ – некоторая функция координаты $X$. Таким образом, пару чисел можно рассматривать как координаты события в неинерциальной системе отсчета. Однако оказывается, что изменяя значения $T$, $X$ можно получить не все координаты $(t, x)$. Это связано с тем, что сигнал от некоторых событий никогда не достигает наблюдателя. Выразите функцию $f(X)$ через $g$ и $c$. Для простоты можете ограничиться случаем, когда событие произошло справа от наблюдателя. Если событие находится слева от наблюдателя, вид зависимости $(t, x)$ от $(T, X)$ такой же. Изобразите в координатах $(x, t)$ область пространства-времени, которая покрывается координатами $(X,T)$, когда они меняются от $-\infty$ до $+\infty$.

C3  ^0.50 Напомним, что интервалом между двумя бесконечно близкими событиями называется величина, квадрат которой равен $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2$. Покажите, что интервал между двумя близкими событиями можно записать в виде $$ ds^2= F(X, T) (c^2 dT^2 - dX^2). $$ Найдите функцию $F(X, T)$. В ответ могут входить $g$, $c$.

C4  ^0.70 В построенной таким образом системе координат естественно считать неподвижными тела, для которых $X= \operatorname{const}$. Покажите, что такие тела движутся с постоянным ускорением в сопутствующей СО, выразите это ускорение $a(X)$ через $X$, $g$, $c$. Таким образом, можно считать, что система отсчета образована наблюдателями, которые движутся по законам, определяемым условием $X = \operatorname{const}$.

C5  ^0.70 Пусть наблюдатель с координатой $X_0$ в момент $T_0$ испускает световой луч в положительном направлении оси $x$. Как для этого луча будет зависеть $X$ от $T$ в последующие моменты?

C6  ^1.30 Пусть наблюдатель с координатой $X_1$ в момент $T_1$ испускает свет с длиной волны $\lambda_1$ (в сопутствующей СО наблюдателя). Определите длину волны $\lambda_2$, которую измерит наблюдатель с координатой $X_2$ в своей сопутствующей CО. Считайте, что для наблюдателей $X_1, X_2 = \operatorname{const}$.