A1  ^0.10 Найдите максимально возможное время движения $t_{\max}$. Далее будем рассматривать только движение при временах, не превосходящих $t_{\max}$.

Максимальное время будет соответствовать достижению скорости света, то есть:
$$
c = t_{\max}(d) a(d) = t_{\max}(d) \frac{a_0}{1 + 2a_0 d / c^2},
$$откуда для заданного наблюдателя
$$
t_{\max} = \frac{c}{a_0} \left( 1+ \frac{2 a_0 d}{c^2} \right).
$$Поскольку $d \ge 0$, для всех частиц модель будет применима при $t> t_{max}$ c

A2  ^0.50 Покажите, что если для двух наблюдателей в начальный момент $d_1 < d_2$, то при $t< t_{\max}$ для их координат по прежнему будет выполняться $x_1(t) < x_2(t)$.

Координаты наблюдателей зависят от времени следующим образом:
$$
x_1(t) = d_1+ \frac{a_0 t^2/2}{1 + 2 a_0 d_1 / c^2}, \quad x_2 = d_2 + \frac{a_0 t^2/2}{1+ 2a_0 d_2 /c^2}.
$$Ускорение второго наблюдателя больше, поэтому он постепенно догоняет первого, и расстояние между наблюдателями монотонно убывает. Их разность координат равна
$$
\Delta x(t) = x_2(t) - x_1(t) = (d_2 - d_1) \left( 1 - \frac{{a_0^2 t^2}/{c^2}}{\left(1 + \dfrac{2 a_0 d_1}{c^2}\right) \left(1 + \dfrac{2 a_0 d_2}{c^2}\right)} \right).
$$Первый наблюдатель достигнет скорости света быстрее, поэтому максимальное время движения $t_{\max} = c/a(d_1)$. Тогда нам нужно проверить, что значение $\Delta x(t_{\max}) > 0$:
$$
\Delta x(t_\max) = (d_2 -d_1 ) \left( 1- \frac{1+ 2 a_0d_1/c^2}{1+ 2a_0d_2/c^2}\right) = \frac{2 a_0 (d_2 - d_1)^2}{c^2 + 2 a_0 d_2} >0
$$что и требовалось доказать.

Отметим, что достаточно было проверить, что $\Delta x(t) > 0$ при $t_{\max} = c/a_0$ из предыдущего пункта. Это можно сделать аналогично, или определить время $t_1$, при котором первый наблюдатель догонит второго,
$$
t_1 = \frac{c}{a_0} \sqrt{1 + \frac{2 a_0 d_1}{c^2}} \sqrt{1 + \frac{2 a_0 d_2}{c^2}} > \frac{c}{a_0}.
$$

A3  ^1.00 Пусть наблюдатель 1 в момент времени $t_1$ испускает световой сигнал, а наблюдатель 2 получает его в момент времени $t_2$. Ускорения наблюдателей $a_1$ и $a_2$, начальные координаты $d_1$ и $d_2$ соответственно. Покажите, что между этими временами выполняется соотношение
$$
\left(t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon \left( t_2 - \frac{c}{a_2}\right)^2,
$$если $d_2 > d_1$, и соотношение
$$
\left(t_1 + \frac{c}{a_1} \right)^2 = \varepsilon\left( t_2 + \frac{c}{a_2}\right)^2,
$$если $d_2 < d_1$. Выразите постоянную $\varepsilon$ через $a_1$ и $a_2$.

Рассмотрим сначала случай, когда $d_2 > d_1$. До достижения второго наблюдателя свет пройдёт расстояние
$$
x_2(t_2) - x_1(t_1) = d_2 - d_1 + \frac{a_2 t_2^2}{2} - \frac{a_1 t_1^2}{2} = c (t_2 - t_1), \tag{1}
$$откуда:
$$
\left( \frac{a_2 t_2^2}{2} - c t_2 \right) - \left( \frac{a_1 t_1^2}{2} - c t_1 \right) = d_1 - d_2.
$$Выделим в левой части полные квадраты по $t_1$ и $t_2$, получим
$$
\left( t_2 - \frac{c}{a_2} \right)^2 \frac{a_2}{2} - \left( t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 \frac{a_1}{2} - \frac{c^2}{2} \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1} \right) = d_1 - d_2
$$Подставляя $d_1$ и $d_2$, выраженные через $a_1$, $a_2$, $c$, получаем, что слагаемое с $d_1 - d_2$ сокращается и остаются только полные квадраты:
$$
\left( t_1 - \frac{c}{a_1} \right)^2 = \left( t_2 - \frac{c}{a_2} \right)^2 \frac{a_2}{a_1},
$$откуда находим искомый параметр:
$$
\varepsilon = \frac{a_2}{a_1}.
$$
Случай, когда $d_2 < d_1$ отличается от $d_2 > d_1$ только направлением распространения светового сигнала, то есть в выражении $(1)$ нужно заменить $c$ на $- c$.

A4  ^1.30 Для того, чтобы измерить расстояние до другого наблюдателя, наблюдатель 1 (с начальным значением координаты $d_1$) испускает в момент времени $t_A$ луч, который достигает наблюдателя 2 (с начальной координатой $d_2> d_1$) в некоторый момент времени $t_C$, отражается и возвращается к первому наблюдателю в момент времени $t_B$ (по часам лабораторной СО). Тогда наблюдатель 1 считает. что расстояние до наблюдателя 2 равно $D_{rad} = c (t_B- t_A)/2$. Выразите это расстояние через $d_1$, $d_2$, $a_0$, $c$ и покажите, что оно не зависит от $t_A$.

Используя первое соотношение из предыдущего пункта, запишем связь между временами $t_A$ и $t_C$:
$$
\left( t_A - \frac{c}{a_1} \right) = \left( t_C - \frac{c}{a_2} \right)\sqrt{ \frac{a_2}{a_1}}.
$$Аналогично из второго соотношения предыдущего пункта следует связь времен $t_C$ и $t_B$. При этом важно понимать, что посылает сигнал наблюдатель с ускорением $a_2$, а принимает наблюдатель с ускорением $a_1$, поэтому $a_1$ и $a_2$ нужно поменять местами, в том числе и в коэффициенте $\varepsilon$:
$$
\left( t_C + \frac{c}{a_2} \right) = \left( t_B + \frac{c}{a_1} \right)\sqrt{ \frac{a_1}{a_2}}.
$$
Знаки плюс в обоих выражениях берутся, поскольку с увеличением времени испускания сигнала время его приема также должно возрастать.
Выражая $t_C$ из первой формулы и подставляя во вторую, получим
$$
t_B = \sqrt{\frac{a_2}{a_1}} \left( t_C + \frac{c}{a_2}\right) - \frac{c}{a_1} = \sqrt{\frac{a_2}{a_1}} \left[ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} \left( t_A- \frac{c}{a_1} \right) + 2\frac{c}{a_2}\right] - \frac{c}{a_1} .
$$
Таким образом, найдем время от испускания сигнала до приема
$$
t_B- t_A = \frac{2c}{\sqrt{a_1 a_2}} -\frac{2c}{a_2}.
$$Это время действительно не зависит от времени испускания сигнала $t_A$, поэтому измеренное расстояние $D_{rad}$ также не зависит от $t_A$. Окончательно получаем подставляя выражения для $a_{1,2}$ через $d_{1,2}$

A5  ^0.30 Пусть $d_1 = d$, а $d_2 = d_1 + \Delta d$, где $\Delta d \ll d$ – положительное расстояние между наблюдателями. Выразите $D_{rad}$ в первом порядке малости по $\Delta d$ через $d$, $a_0$, $c$ и $\Delta d$.

При $d_1 = d_2$ расстояние $D_{rad} = 0$, поэтому в первом порядке
$$
D_{rad} = \frac{\partial D_{rad}}{\partial d_2} \Delta d,
$$причем в выражение для производной нужно подставить $d_1 = d_2 = d$. Дифференцируя, получим

Отметим, что это выражение не зависит ни от ускорений, ни от времени, несмотря на то, что физически наблюдатели сближаются.

B1  ^0.20 Пусть наблюдатель движется относительно инерциальной системы отсчета со скоростью $v$. При этом в момент времени $t = 0$, $x = 0$. Выразите $x$, $t$ через $\tau$.

В сопутствующей СО перемещение наблюдателя $x' = 0$. Тогда из преобразований Лоренца следует:
$$
x = \gamma (x' + v \tau) = \frac{v \tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\\
t = \gamma \left( \tau + \frac{x' v}{c} \right) = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
$$

B2  ^0.70 Пусть некоторое событие произошло в точке с временем и координатой $(t, x)$. Определите для него значения собственного времени $\tau_1$, $\tau_2$. Для простоты можете провести вычисления только для случая, когда событие произошло справа от наблюдателя.

Световой сигнал пройдёт от наблюдателя до события расстояние
$$
x - x(\tau_1) = c (t - t(\tau_1)),
$$а от события до наблюдателя – расстояние
$$
x - x(\tau_2) = c (t(\tau_2) - t).
$$Подставив выражения для $x(\tau)$ и $t(\tau)$ из предыдущего пункта, получим:

B3  ^0.40 Покажите, что определенные таким образом время и координата $(T, X)$ совпадают с временем и координатой в инерциальной СО, движущейся со скоростью $v$ относительно исходной СО.

Используя определения из условия, получим
$$
X = \frac{\tau_2 - \tau_1}{2} c = \frac{(ct + x)(c - v) - (ct - x)(c + v)}{2 c \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}};
$$$$
T = \frac{\tau_1 + \tau_2}{2} = \frac{(ct - x)(c + v) + (ct + x)(c - v)}{2 c^2 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{t - \dfrac{x v}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
$$То есть $X = \gamma(x - vt)$, $T = \gamma(t - xv/c^2)$, что соответствует координате и времени в СО, движущейся со скоростью $v$ относительно исходной СО.

C1  ^0.80 Покажите, что при подходящем выборе начальных условий для такого наблюдателя зависимость координаты и времени от собственного времени имеет вид
$$
x = A \operatorname{ch} \alpha\tau, \qquad t = B \operatorname{sh}\alpha \tau.
$$Определите значения постоянных $A$, $B$, $\alpha$. Выразите ответ через $g$, $c$.

В каждый момент времени мы можем переходить в сопутствующую СО, в которой тело будет покоиться в момент перехода, но иметь ускорение $g$. Тогда за время $d\tau$ после перехода в сопутствующую СО (по её часам) наблюдатель приобретёт скорость
$$
dv' = g d\tau = c d\theta,
$$откуда скорость наблюдателя в ЛСО в момент времени $\tau$ (по часам наблюдателя) равна
$$
v(\tau) = c \operatorname{th}\theta(\tau) = c \operatorname{th} \frac{g\tau}{c}.
$$Перемещение наблюдателя относительно ЛСО за время $dt$ (по часам ЛСО) равно
$$
dx = c \operatorname{th} \left(\frac{g\tau}{c}\right) dt
$$Преобразование Лоренца для времени можно записать так:
$$
d\tau = \operatorname{ch} \frac{g\tau}{c} \cdot \left( dt - \operatorname{th} \left(\frac{g\tau}{c}\right) \frac{dx}{c} \right) = \operatorname{ch} \frac{g\tau}{c} \cdot \left(1 - \operatorname{th}^2 \left(\frac{g\tau}{c}\right)\right) dt = \frac{dt}{\operatorname{ch} \dfrac{g\tau}{c}},\\
\Rightarrow \quad t = \frac{c}{g} \cdot \operatorname{sh} \frac{g\tau}{c}, \quad x = c \int\limits_0^\tau \operatorname{th} \frac{g\tau}{c} \cdot \operatorname{ch} \frac{g\tau}{c} d\tau = \frac{c^2}{g} \cdot \operatorname{ch} \frac{g\tau}{c}.
$$Откуда:

C2  ^1.50 Пусть в момент времени $t$ в точке с координатой $x$ произошло некоторое событие.
Эти координаты $(t, x)$ можно выразить через $X$ и $T$ (определенные для наблюдателя из $\mathbf{C1}$ способом, описанным во введении к части $\mathbf{B}$) следующим образом:
$$x = A f(X) \operatorname{ch} \alpha T, \qquad t = B f(X) \operatorname{sh} \alpha T,
$$где $A$, $B$, $\alpha$ – постоянные, определённые в предыдущем пункте, а $f(X)$ – некоторая функция координаты $X$. Таким образом, пару чисел можно рассматривать как координаты события в неинерциальной системе отсчета. Однако оказывается, что изменяя значения $T$, $X$ можно получить не все координаты $(t, x)$. Это связано с тем, что сигнал от некоторых событий никогда не достигает наблюдателя.

Выразите функцию $f(X)$ через $g$ и $c$. Для простоты можете ограничиться случаем, когда событие произошло справа от наблюдателя. Если событие находится слева от наблюдателя, вид зависимости $(t, x)$ от $(T, X)$ такой же. Изобразите в координатах $(x, t)$ область пространства-времени, которая покрывается координатами $(X,T)$, когда они меняются от $-\infty$ до $+\infty$.

Для путей светового сигнала можем записать выражения аналогичные пункту B2:
$$
\left\{\begin{gathered}
x - x(\tau_1) = c(t - t(\tau_1))\\
x - x(\tau_2) = c(t(\tau_2) - t)
\end{gathered}\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{\begin{gathered}
x = \frac12 \left( x(\tau_1) + x(\tau_2) - ct(\tau_1) + ct(\tau_2) \right)\\
t = \frac12 \left( t(\tau_1) + t(\tau_2) - \frac{x(\tau_1)}{c} + \frac{x(\tau_2)}{c} \right)
\end{gathered}\right.
$$Тогда подставляя выражения для $x(\tau_{1,2})$ и $t(\tau_{1,2})$ из предыдущего пункта, получим:
$$
x = \frac{c^2}{2g} \left[ \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) - \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right] = \frac{c^2}{2g} \left[ \exp\left(\frac{-g\tau_1}{c}\right) + \exp\left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right]\\
t = \frac{c}{2g} \left[ - \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{ch} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_1}{c}\right) + \operatorname{sh} \left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right] = \frac{c}{2g} \left[ -\exp\left(\frac{-g\tau_1}{c}\right) + \exp\left(\frac{g\tau_2}{c}\right) \right]
$$
Выразим $\tau_{1,2}$ через $T$ и $X$:
$$
\left\{\begin{gathered}
T = \frac{\tau_1 + \tau_2}{2}\\
X = c \cdot \frac{\tau_2 - \tau_1}{2}
\end{gathered}\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{\begin{gathered}
\tau_1 = T - \frac{X}{c}\\
\tau_2 = T + \frac{X}{c}
\end{gathered}\right.
$$Подставив в выражения для $x$ и $t$, получим:
$$
x = \frac{c^2}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \operatorname{ch} \left(\frac{gT}{c}\right)\\
t = \frac{c}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right)
$$При фиксированном значении $X$ эти уравнения параметрически задают гиперболы с общими асимптотами
$$
x^2 - c^2 t^2 = \frac{c^4}{g^2}\exp\left( \frac{2g X}{c^2}\right),
$$причем уравнения описывают только правую ветвь гиперболы с $x > 0$. В пределе $X \to - \infty$ эта гипербола перейдет в пару лучей $x = \pm ct$ при $x > 0$. Таким образом, координаты покрывают четверть пространства-времени, ограниченного неравенством
$$
x \ge c |t|.
$$Физически такое ограничение связано с тем, что сигналы от части областей пространства-времени никогда не достигают наблюдателя, поскольку его скорость становится бесконечно близкой к скорости света. До других областей пространства-времени сигналы от наблюдателя не могут дойти, поскольку при $t \to -\infty$ он находится бесконечно далеко и приближается со скоростью очень близкой к скорости света. Пересечение этих двух областей и задает часть пространства, покрываемую координатами.

C3  ^0.50 Напомним, что интервалом между двумя бесконечно близкими событиями называется величина, квадрат которой равен $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2$. Покажите, что интервал между двумя близкими событиями можно записать в виде
$$
ds^2= F(X, T) (c^2 dT^2 - dX^2).
$$Найдите функцию $F(X, T)$. В ответ могут входить $g$, $c$.

Запишем выражение для дифференциала интервала
$$
ds^2 = c^2dt^2 - dx^2,
$$подставим в него выражения дли дифференциалов координаты и времени
$$
dx = \frac{c^2}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \left(\operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdT}{c} + \operatorname{ch} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdX}{c^2}\right),\\
dt = \frac{c}{g} \cdot \exp\left(\frac{Xg}{c^2}\right) \cdot \left( \operatorname{ch} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdT}{c} + \operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right) \frac{gdX}{c^2}\right),
$$тогда:
$$
ds^2 = \exp\left(\frac{2gX}{c^2}\right) \cdot \left[
\operatorname{sh}^2 \left(\frac{gT}{c}\right) dX^2 + \operatorname{ch}^2 \left(\frac{gT}{c}\right) dT^2 c^2 + 2 \operatorname{sh} \left(\frac{gT}{c}\right)\operatorname{ch}\left(\frac{gT}{c}\right) dX dT c -\\
- \operatorname{ch}^2 \left(\frac{gT}{c}\right) dX^2 - \operatorname{sh}^2 \left(\frac{gT}{c}\right) dT^2 c^2 - 2 \operatorname{sh}\left(\frac{gT}{c}\right)
\operatorname{ch}\left(\frac{gT}{c}\right) dX dT c
\right] =\\= \exp\left(\frac{2gX}{c^2}\right) \cdot \left(dT^2 c^2 - dX^2\right).
$$Откуда:

C4  ^0.70 В построенной таким образом системе координат естественно считать неподвижными тела, для которых $X= \operatorname{const}$. Покажите, что такие тела движутся с постоянным ускорением в сопутствующей СО, выразите это ускорение $a(X)$ через $X$, $g$, $c$. Таким образом, можно считать, что система отсчета образована наблюдателями, которые движутся по законам, определяемым условием $X = \operatorname{const}$.

При фиксированном $X$ зависимость координаты от параметра $T$ имеет вид
$$
x = \frac{c^2}{g} \exp\left( \frac{g X}{c^2}\right) \operatorname{ch} \frac{g T}{c}, \quad
t = \frac{c}{g} \exp\left( \frac{g X}{c^2}\right) \operatorname{sh} \frac{g T}{c}.
$$Для такой частицы интервал имеет вид (с учетом $dX = 0$)
$$
ds^2 = c^2 d\tau^2 = c^2 dT^2 \exp\left( \frac{2 g X}{c^2}\right),
$$где $\tau$ – собственное время частицы. Таким образом, параметр $T$ выражается через собственное время как
$$
T =\tau \exp\left( -\frac{ g X}{c^2} \right) ,
$$а значит зависимость координаты и времени от собственного времени имеет вид
$$
x = \frac{c^2}{a} \operatorname{ch} \frac{a \tau}{c}, \quad t = \frac{c}{a} \operatorname{sh} \frac{a \tau}{c},
$$где
$$
a(X) = g \exp\left( -\frac{ g X}{c^2} \right) .
$$Эти уравнения совпадают с полученными в части C1 уравнениями для равноускоренного движения с ускорением $a$.
Отметим, что уравнения представляют собой параметрическое задание траектории частицы в пространстве-времени, причем в роли параметра выступает $T$. Если подставить вместо $T$ любую функцию некоторого параметра $\xi$, монотонно пробегающую все значения от $-\infty$ до $\infty$, то получим ту же траекторию. В частности можно заметить, что если подставить вместо $T$ величину $\tau$, найденную выше, то уравнения формально перейдут в уравнения равноускоренного движения, а значит рассматриваемое движение – равноускоренное.

C5  ^0.70 Пусть наблюдатель с координатой $X_0$ в момент $T_0$ испускает световой луч в положительном направлении оси $x$. Как для этого луча будет зависеть $X$ от $T$ в последующие моменты?

При распространении светового луча интервал между событиями равен нулю. Запишем это равенство в новых координатах
$$
ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 = F(X,T)\left(c^2dT^2 - dX^2\right) = 0.
$$Отсюда получим, что в новых координатах также выполняется соотношение $dX = \pm c dT$, поэтому координатная скорость для света (то есть производная $X$ по $T$ также равна $c$). С учетом направления распространения, получим уравнение светового луча в виде
$$
X(T) = X_0 + c(T - T_0).
$$То же уравнение можно получить прямым преобразованием уравнения светового луча в новые координаты.

C6  ^1.30 Пусть наблюдатель с координатой $X_1$ в момент $T_1$ испускает свет с длиной волны $\lambda_1$ (в сопутствующей СО наблюдателя). Определите длину волны $\lambda_2$, которую измерит наблюдатель с координатой $X_2$ в своей сопутствующей CО. Считайте, что для наблюдателей $X_1, X_2 = \operatorname{const}$.

Если источник, движущийся со скоростью $\beta$ излучает свет с длиной волны $\lambda_1$, то за счет эффекта Доплера в лабораторной СО его длина волны будет равна
$$
\lambda_0 = \lambda_1 \sqrt{\frac{1-\beta_1}{1 + \beta_1}},
$$где $\beta = v/c$. У источника 1 в момент времени $T_1$ гамма-фактор равен
$$
\gamma_1 = \operatorname{ch} \frac{g T}{c},
$$поэтому безразмерная скорость
$$
\beta_1 = \frac{v_1}{c} = \operatorname{th} \frac{g T_1}{c},
$$а коэффициент в эффекте Доплера
$$
\sqrt{\frac{1-\beta_1}{1 + \beta_2}} = e^{- gT_1/c}.
$$Второй наблюдатель получит длину волны
$$
\lambda_2 = \lambda_0 \sqrt{\frac{1+ \beta_2}{1- \beta_2}},
$$где коэффициент можно выразить через время аналогичным образом как $\exp\left( g T_2/c^2\right)$.
Для второго наблюдателя
$$
T_2 = T_1 + (X_2 - X_1)/c,
$$поэтому
$$
\lambda_2 = \lambda_1 e^{g(T_2 - T_1)/c} = \lambda_1 e^{g(X_2 - X_1)/c^2}.
$$